Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Do BD , CE là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat{BDC}=90^o\)và \(\widehat{BEC}=90^o\)
Vì E , D nằm cùng 1 phía trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC nên tứ giác BCDE nội tiếp trong đường trong đường kính BC
2. Trên cung tròn đường kính BC ta có : \(\widehat{D_1}=\widehat{C_1}\)( cùng chắc cung \(\widebat{BE}\))
Trên đường tròn (O) , ta có : \(\widehat{M_1}=\widehat{C_1}\)( cùng chắn cung \(\widebat{BN}\))
Suy ra : \(\widehat{D_1}=\widehat{M_1}\Rightarrow MN//DE\)( do có 2 góc đồng vị bằng nhau )
3. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{AEH}=90^o\)( do CE vuông AB )
\(\widehat{ADH}=90^o\)( do BD vuông AC )
\(\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{ADH}=180^O\)nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là đường tròn đường kính AH , có bán kính bằng \(\frac{AH}{2}\)
Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) , ta có :
\(\widehat{KBA}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) )
\(\Rightarrow KB\perp AB\)
mà \(CE\perp AB\left(gt\right)\)nên KB // CH (1)
Chứng minh tương tự ta có KC // BH (2)
Từ (1) và (2) => BKCH là hình bình hành
Vì I là trung điểm của BC suy ra I cũng là trung điểm của KH . Mặt khác ta có O là trung điểm của AK nên \(OI=\frac{AH}{2}\). Do BC cố định nên I cố định suy ra Oi không đổi
Vậy khi điểm A di động trên cung lớn BC thì độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn không đổi
Do tứ giác BCDE nội tiếp nên \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\)( tính chất góc ngoài bằng góc trong đối diện ) (3)
Xét 2 tam giác ADE và ABC ta có \(\widehat{DAE}=\widehat{BAC}\), kết hợp với (3) ta có 2 tam giác này đồng dạng
\(\Rightarrow\frac{S_{\Delta ADE}}{S_{\Delta ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=\left(\cos\widehat{DAB}\right)^2=\left(\cos\widehat{CAB}\right)^2\)
Do BC cố định nên cung nhỏ BC không đổi suy ra số đô góc CAB không đổi . Vậy để SADE đạt giá trị lớn nhất thì SABC cũng phải đạt giá trị lớn nhất . Điều này xảy ra khi và chỉ khi A là điểm chính giữa cung lớn BC
c) Kẻ OI vuông góc với BC tại I thì OI không đổi, vì BC cố định.
Theo t/c đường kính và dây thì I là trung điểm của BC.
cm tương tự câu b) để có BD // CF, suy ra tứ giác BHCF là hình bình hành mà I là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của HF
Vậy OI là đường tb của tam giác AHF => AH = 2.OI không đổi
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
Gọi A' là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và tia AB
Ta chứng minh được E,A,N và M, A, F thẳng hàng
=> A đối xứng với A' qua C => B đối xứng với A' qua điểm A mà A' cố định
=> Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BA'.
a) Xét tứ giác PKHE có: \(\widehat{HPK}+\widehat{PEH}=90^o+90^o=180^o\).
Nên tứ giác PKHE là tứ giác nội tiếp.
b) Vì \(\widehat{PMQ}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(PM\perp MQ\). (1)
Theo giả thiết: \(NK\perp PM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MQ//NK (theo tính chất từ vuông góc tới song song).
Do MQ//NK nên \(\widehat{QMN}=\widehat{MNK}\) (hai góc so le trong). (3)
Mặt khác \(\widehat{QMN}=\widehat{NPQ}\) (cùng chắn cung MN). (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{KNM}=\widehat{NPQ}\).
c) Kéo dài MO cắt đường tròn tại K'.
Ta sẽ chứng minh tứ giác NHPK' là hình bình hành.
Do các đường cao ME, NK cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác MNP vì vậy \(HP\perp MN\). (5)
Mặt khác do MK' là đường kính nên \(\widehat{MNK'}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra \(NK'\perp MN\) . (6)
Từ (5) và (6) suy ra: HP//NK'.
Tương tự ta chứng minh được: HN//PK'.
Xét tứ giác NHPK có HP//NK' và HN//PK' nên tứ giác NHPK' là hình bình hành.
Suy ra: \(HP=NK'\).
Do K' là điểm cố định (Vì M và đường tròn O cố định) nên NK' không đổi hay HP không đổi. (Có thể đề sai).
camon rất nhìu