K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 8 2017

a)Áp dụng bđt Cô-si:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-1+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}=\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab}.\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}}=2\)

=>\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1

b) bđt sai rồi

5 tháng 3 2018

a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{abc^2}{ab}}=2\sqrt{c^2}=2\left|c\right|=2c\left(c>0\right)\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\\\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ab}{c}\ge2b\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế: \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Áp dụng liên tiếp AM-GM và Cauchy-Schwarz ta được:

\(\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{ab+b^2-b^2}{a+b}=\dfrac{b\left(a+b\right)}{a+b}-\dfrac{b^2}{a+b}=b-\dfrac{b^2}{a+b}\)

Chứng minh tương tự:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{bc}{b+c}=\dfrac{bc+c^2-c^2}{b+c}=\dfrac{c\left(b+c\right)}{b+c}-\dfrac{c^2}{b+c}=c-\dfrac{c^2}{b+c}\\\dfrac{ac}{c+a}=\dfrac{ac+a^2-a^2}{c+a}=\dfrac{a\left(c+a\right)}{c+a}-\dfrac{a^2}{c+a}=a-\dfrac{a^2}{c+a}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế:

\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ac}{a+c}=a+b+c-\left(\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{c^2}{b+c}+\dfrac{a^2}{a+c}\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

b)Đặt \(A=\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)

\(A=\dfrac{a\left(a+b\right)-a^2}{a+b}+\dfrac{b\left(b+c\right)-b^2}{a+b}+\dfrac{c\left(c+a\right)-c^2}{c+a}\)

\(A=a+b+c-\dfrac{a^2}{a+b}-\dfrac{b^2}{b+c}-\dfrac{c^2}{c+a}\)

Lại có:\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow A\le a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

17 tháng 3 2018

a)Svac-so:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2\left(đpcm\right)}\)

b)\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2+1}-\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{b^2+1}-\dfrac{1}{ab+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+1-a^2-1}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\dfrac{ab+1-b^2-1}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a\left(b-a\right)}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}+\dfrac{b\left(a-b\right)}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{b}{\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}-\dfrac{a}{\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{b\left(a^2+1\right)-a\left(b^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{a^2b+b-ab^2-a}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\dfrac{ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\dfrac{ab-1}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)(luôn đúng)

7 tháng 3 2018

Áp dụng BĐT Cô si dạng phân số ta có :

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

=> ĐPCM .

7 tháng 3 2018

b) Vì a,b,c > 0 .

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

\(\dfrac{a^2}{b}+b\ge2a\) (1)

Tương tự ta có : \(\dfrac{b^2}{c}+c\ge2b\) (2)

\(\dfrac{c^2}{a}+a\ge2c\) (3)

Cộng từng vế => ĐPCM .

30 tháng 5 2018

Áp dụng BĐT Cô - Si , ta có :

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{1}{a}\)\(2\sqrt{\dfrac{a}{b^2}.\dfrac{1}{a}}=2.\dfrac{1}{b}\left(a,b>0\right)\left(1\right)\)

\(\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{1}{b}\text{ ≥ }2\sqrt{\dfrac{b}{c^2}.\dfrac{1}{b}}=2.\dfrac{1}{c}\left(b,c>0\right)\left(2\right)\)

\(\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{c}\text{≥}2\sqrt{\dfrac{c}{a^2}.\dfrac{1}{c}}=2.\dfrac{1}{a}\left(a,c>0\right)\left(3\right)\)

Từ ( 1 ; 2 ; 3) Ta có :

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)

\(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{c^2}+\dfrac{c}{a^2}\)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 11 2018

Bài 1:

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên \(b+c-a; c+a-b; a+b-c>0\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

\(\frac{a^2}{b+c-a}+(b+c-a)\geq 2\sqrt{a^2}=2a\)

\(\frac{b^2}{a+c-b}+(a+c-b)\geq 2\sqrt{b^2}=2b\)

\(\frac{c^2}{a+b-c}+(a+b-c)\geq 2\sqrt{c^2}=2c\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\geq 2(a+b+c)\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 11 2018

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:

\(ab+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{ab.\frac{a}{b}}=2a\)

\(ab+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{ab.\frac{b}{a}}=2b\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow 2(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 2(a+b+1)\)

\(\Rightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq a+b+1\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017

Bài 3:

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)

\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)

Theo BĐT AM-GM:

\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)

Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 8 2017

Bài 1: Thiếu đề.

Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)

Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)

b) Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)

Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)

10 tháng 8 2017

5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y

Ta có:

\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)

Vậy ta suy ra đpcm

b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b

Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)

.Tương tự:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)

Vậy ta có đpcm

10 tháng 8 2017

6) Ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)

\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)

Suy ra đpcm

24 tháng 5 2018

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}\ge a\)

\(\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4}\ge b\)

\(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Làm tắt vài chỗ thông cảm

24 tháng 5 2018

Câu b,

Ta có BĐT Cauchy \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a+b}\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b}{4}\)

Tương tự \(\dfrac{bc}{b+c}\le\dfrac{b+c}{4}\)

\(\dfrac{ac}{a+c}\le\dfrac{a+c}{4}\)

Cộng theo vế ta đc \(VT\le\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c