Question

[Hường]

Bây giờ là 4 giờ 20 phút.

a) Thời gian ngắn nhất để kim giờ và kim phút trùng khít lên nhau là bao lâu?

b) Trong khoảng thời gian đó, kim giây đã đi được bao nhiêu vòng đồng hồ?

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Ta xem đồng hồ như một đường tròn lượng giác với trục hoành từ hướng 9 giờ đến 3 giờ, trục tung từ hướng 6 giờ đến 12 giờ.

Khi đó, tại thời điểm \(t=0\) (tức 4 giờ 20 phút), thì kim phút đang ở vị trí có góc lượng giác là \(\phi_0=-\frac{\pi}{6}\left(rad\right)\), còn kim giờ ở vị trí có góc lượng giác là \(\phi_0^{\prime}=-\frac{7\pi}{18}\left(rad\right)\)

Ta xem chuyển động của kim giờ và kim phút là những dao động điều hòa với cùng biên độ là 1. Khi đó kim phút dao động với tần số góc \(\omega=2\pi\left(\frac{rad}{h}\right)=\frac{\pi}{1800}\left(\frac{rad}{s}\right)\), còn kim giờ dao động với tần số góc là \(\omega^{\prime}=\frac{\pi}{6}\left(\frac{rad}{h}\right)=\frac{\pi}{21600}\left(\frac{rad}{s}\right)\)

Ta viết được pt dao động điều hòa của kim phút và kim giờ như sau:

Kim phút: \(x=\cos\left(-\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}\right)\)

Kim giờ: \(x^{\prime}=\cos\left(-\frac{\pi}{21600}t^{}-\frac{7\pi}{18}\right)\)

Kim giờ và kim phút gặp nhau: Cho \(x=x^{\prime}\)

\(\lrArr\cos\left(-\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{21600}t-\frac{7\pi}{18}\right)\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}-\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{21600}t-\frac{7\pi}{18}+2k\pi\left(k\in Z\right)\\ -\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{21600}t+\frac{7\pi}{18}+2l\pi\left(l\in Z\right)\end{array}\right.\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}\frac{11}{21600}t=\frac29+2k\\ \frac{13}{21600}t=-\frac59+2l\end{array}\right.\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}t=\frac{4800}{11}+\frac{43200k}{11}\\ t=-4000+\frac{43200}{13}l\end{array}\right.\)

Ta chọn \(k,l\in Z\) để chọn được \(t\) gần với 0 nhất. Cho \(k=0\) thì tìm được \(t=\frac{4800}{11}\left(s\right)\) , cho \(l=2\) thì \(t=\frac{42400}{11}\left(s\right)\). Rõ ràng ta sẽ nhận \(t=\frac{4800}{11}\left(s\right)\)

Vậy sau ít nhất \(\frac{4800}{11}\left(s\right)\) (xấp xỉ 436,36s) thì kim giờ và kim phút trùng nhau. (Bạn có thể tự kiểm chứng trực tiếp bằng cách vặn đồng hồ nhà mình.)

b) Chu kì của kim giây là \(T=60s\). Vậy khi đó góc quét của kim giây là \(\Delta\phi=\frac{\Delta t}{T}.2\pi=\frac{\frac{4800}{11}}{60}.2\pi=\frac{160}{11}\pi\)

Vậy số vòng kim giây đi được là \(\frac{\frac{160}{11}\pi}{2\pi}=\frac{80}{11}\) (xấp xỉ 7,27 vòng)

Answer 2

[LÊ CÔNG BAN]

Tôi bị nứng