Có một cách rất thú vị để giải bài này, đó là dùng tính chất đường phân giác trong tam giác. Ta có bổ đề sau:

Cho 2 điểm A, B. Trên đường thẳng AB lấy 2 điểm C, D sao cho \(\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}=k\). Khi đó tập hợp tất cả các điểm M sao cho \(\frac{MA}{MB}=k\) chính là đường tròn đường kính CD. Bổ đề này có thể dễ dàng chứng minh nhờ tính chất đường phân giác trong tam giác như sau:

Vì \(\frac{MA}{MB}=k=\frac{CA}{CB}=\frac{DA}{DB}\) nên CM, DM lần lượt là phân giác trong và ngoài của tam giác MAB, do đó \(\hat{CMD}=90^{o}\) hay M di chuyển trên đường tròn đường kính CD.

Ta sẽ dùng tính chất này để giải bài toán trên.

Giả sử tam giác vuông cân ABC có cạnh góc vuông bằng 24.

Nhận thấy điểm M thỏa mãn MA:MB=1:2 nên trên đường thẳng AB lấy 2 điểm X, Y sao sho X nằm giữa A, B và \(\frac{XA}{XB}=\frac{YA}{YB}=\frac12\). Vẽ đường tròn tâm I, đường kính XY. Khi đó điểm M phải nằm trên (I). Tương tự, vì MA:MC=1:3 nên trên đường thẳng AC lấy 2 điểm Z, T sao cho Z nằm giữa A, C và \(\frac{ZA}{ZB}=\frac{TA}{TB}=\frac13\). Vẽ đường tròn tâm J, đường kính ZT. Khi đó điểm M phải nằm trên (J).

Dễ thấy đường tròn (I) có bán kính \(R=16\) và đường tròn (J) có bán kính \(R^{\prime}=9\). Tính được \(AI=8;AJ=3\). Sau đó lập hệ trục tọa độ Oxy nhận A làm gốc, tia AC, AB lần lượt trùng với tia Ox, Oy. Khi đó:

\(\left(I\right):x^2+\left(y+8\right)^2=256\) (1)

\(\left(J\right):\left(x+3\right)^2+y^2=81\) (2)

Nghĩa là tọa độ điểm M phải thỏa mãn hệ (1) và (2).

Trừ theo vế (1) và (2) và rút gọn, ta được: \(8y-3x=60\lrArr y=\frac{60+3x}{8}\)

Thế vào (1), ta có: \(x^2+\left(\frac38x+\frac{15}{2}+8\right)^2=256\)

\(\lrArr\frac{73}{64}x^2+\frac{93}{8}x-\frac{63}{4}=0\)

\(\lrArr x=\frac{-372+\sqrt{211968}}{73}\) (chỉ lấy nghiệm dương)

Thôi số xấu quá lười làm :)) tới đây bạn bấm cái x kia vào r bấm máy STO -> x để gán giá trị biến x, sau đó bấm \(\frac{60+3x}{8}\) rồi STO -> y. Tiếp theo bấm \(\sqrt{x^2+y^2}\) (để tính MA) rồi STO -> A, sau đó bấm \(\sqrt{x^2+\left(y-24\right)^2}\) (để tính MB) rồi STO -> B. Cuối cùng bấm \(\cos^{-1}\left(\frac{A^2+B^2-576}{2AB}\right)\) là nó sẽ ra đáp số cuối cùng. Mình thì bấm ra \(\hat{AMB}\) xấp xỉ \(167,03^{o}\) .

Bạn nói lâu rồi mới làm lại toán cấp 2 à, vậy cho mình hỏi bạn bao nhiêu tuổi rồi?

Dùng hệ tọa độ Oxy. Mình không khuyến khích bạn sử dụng cách này đâu mặc dù nó khá thú vị. Sẽ tốt hơn nếu bạn tìm được cách dùng hình thuần túy để giải câu c bài này.

Mình làm câu c hơi tà đạo tí nhé :))

c) Xét hệ trục tọa độ Descartes có gốc trùng với D, tia Oy trùng với tia DA, tia Ox trùng với tia DC. Chuẩn hóa \(A\left(0;2\right)\), gọi \(B\left(2b;0\right),C\left(2c;0\right)\). Dễ thấy ptđt AB là \(y=-\frac{1}{b}x+2\)

Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ là \(I\left(b,1\right)\). Đường trung trực d của AB chính là đt qua I vuông góc với AB nên giả sử \(d:y=bx+c\). Khi đó vì d đi qua I nên \(1=b^2+k\rArr k=1-b^2\) , suy ra \(d:y=bx+1-b^2\)

O là giao điểm của trung trực AB và trung trực BC (có pt \(x=b+c\)) nên ta thay \(x=b+c\) vào ptđt d, ta có \(y=b\cdot\left(b+c\right)+1-b^2=bc+1\) , vậy O có tọa độ là \(O\left(b+c;bc+1\right)\), từ đó dễ thấy ptđt AO là \(y=\frac{bc-1}{b+c}x+2\), cho AO giao với BC sẽ ra tọa độ điểm S là \(S\left(\frac{2b+2c}{1-bc};0\right)\), suy ra hệ số góc của đt IS là \(k_1=\frac{0-1}{\frac{2b+2c}{1-bc}-b}=\frac{bc-1}{b^2c+b+2c}\)

CH là đường đi qua \(C\left(2c;0\right)\) vuông góc với AB nên hệ số góc của CH là \(b\). Vì vậy \(CH:y=bx+m\), mà CH đi qua C(2c;0) nên \(0=2bc+m\rArr m=-2bc\) , suy ra \(CH:y=bx-2bc\), cho CH giao với trục Oy sẽ tìm được tọa độ H là \(h\left(0,-2bc\right)\). Dễ dàng chứng minh E đối xứng với H qua BC, do đó \(E\left(0,2bc\right)\).

EK là đt qua E vuông góc với AB có hsg là \(b\) và cắt trục tung tại E(0, 2bc), do đó \(EK:y=bx+2bc\). Pthđgđ của EK và AB là \(bx+2bc=-\frac{1}{b}x+2\)

\(\lrArr\left(b+\frac{1}{b}\right)x=2-2bc\)

\(\lrArr x=\frac{2b-2b^2c}{b^2+1}\)

Suy ra \(y=-\frac{1}{b}x+2=-\frac{1}{b}\cdot\frac{2b-2b^2c}{b^2+1}+2=\frac{2bc+2b^2}{b^2+1}\)

Vậy \(K\left(\frac{2b-2b^2c}{b^2+1};\frac{2b^2+2bc}{b^2+1}\right)\), suy ra hệ số góc của đt KH là:

\(k_2=\frac{\frac{2b^2+2bc}{b^2+1}+2bc}{\frac{2b-2b^2c}{b^2+1}}=\frac{2b^2+2bc+2b^3c+2bc}{2b-2b^2c}=\frac{b+2c+b^2c}{1-bc}\)

Ta có \(k_1\cdot k_2=\frac{bc-1}{b+2c+b^2c}\cdot\frac{b+2c+b^2c}{1-bc}=-1\) nên KH vuông góc với IS. Ta có đpcm.

a) Khá dễ, chỉ cần để ý rằng \(\hat{EDB}=\hat{EKB}=90^{o}\) nên 4 điểm B, D, E, K cùng thuộc đường tròn đường kính EB.

b) Trong đường tròn (O), có \(\hat{AEC}=\hat{ABC}\) vì cùng là góc nội tiếp chắn cung AC.

Mà tứ giác BDEK nội tiếp (câu a)) nên suy ra \(\hat{ABC}=\hat{KEA}\) (góc ngoài bằng góc trong đối diện)

Từ đó suy ra \(\hat{AEC}=\hat{KEA}\) , suy ra EA là tia phân giác của \(\hat{CEK}\). (đpcm 1)

Vẽ đường kính AF của (O). Khi đó \(\hat{ACF}=90^{o}\). Trong đường tròn (O), ta có \(\hat{ABC}=\hat{AFC}\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung AC), suy ra \(90^{o}-\hat{ABD}=90^{o}-\hat{AFC}\), suy ra \(\hat{BAD}=\hat{FAC}\) hay \(\hat{BAE}=\hat{SAC}\) (1)

Mặt khác, trong đường tròn (O), lại có \(\hat{AEB}=\hat{ACB}\) (cùng là góc nội tiếp chắn cung AB) hay \(\hat{AEB}=\hat{ACS}\) (2)

Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra tam giác ABE đồng dạng với ASC.

Suy ra \(\frac{AB}{AS}=\frac{AE}{AC}\) , suy ra \(AB\cdot AC=AE\cdot AS\) (đpcm 2)

Ý c) mình trả lời sau nhé.

Ta có \(x^2+x+2=y^2\)

\(\lrArr4x^2+4x+8=4y^2\)

\(\lrArr4y^2-4x^2-4x=8\)

\(\lrArr\left(2y\right)^2-\left(4x^2+4x+1\right)=7\)

\(\lrArr\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=7\)

\(\lrArr\left\lbrack2y+\left(2x+1\right)\right\rbrack\left\lbrack2y-\left(2x+1\right)\right\rbrack=7\)

\(\lrArr\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=7\)

Ta lập bảng sau:

Trong 4 cặp số này, chỉ có cặp (1,2) là các số nguyên dương. Vậy giá trị nguyên dương của x, y thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(x=1,y=2\)

Hình đây nhé.

M nằm bên trái A:

M nằm bên phải C:

M nằm giữa A và C:

Trên trục số Ox, lấy điểm A, B, C lần lượt nằm ở vạch số 1, 3 và 7, M là điểm bất kì di chuyển trên trục số và ở vạch số \(x\). Dễ thấy B nằm giữa A và C. Và \(AC=6\)

Ta có \(P=\left|x-1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-7\right|=MA+MB+MC\)

Rõ ràng nếu cho M chạy ở bên trái A thì \(MC+MA>MC-MA=AC=6\) , tương tự nếu M chạy bên phải C thì \(MA-MC>6\). Còn khi M di chuyển trên đoạn thẳng AC (nằm giữa A và C) thì \(MA+MC=AC=6\) nên ta sẽ giới hạn điểm M chạy trên đoạn AC.

Khi đó, vì \(MA+MC=6\) nên \(P=MA+MB+MC=6+MB\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MB=0\) hay M trùng với B, hay \(x=3\)

Vậy \(\left|x-1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-7\right|\ge6\) , dấu "=" xảy ra khi \(x=3\)

Vì VT của điều kiện đã cho không âm nên VP không âm, tức là \(5x-1\ge0\lrArr x\ge\frac15\) , như vậy tất cả những biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối của pt đã cho đều dương nên ta có thể yên tâm bỏ dấu GTTĐ mà không cần phải xét trường hợp.

Từ điều kiện trên suy ra:

\(x+1+x+7+x+10+x+15=5x-1\)

\(\rArr4x+33=5x-1\)

\(\rArr x=34\)

Vậy chỉ có \(x=34\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.