Question

[forever young]

từ một điểm E nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn tại A và B gọi M là điểm nằm trên đoạn AB gọi C và D là 2 điểm trên đường tròn sao cho M là trung điểm của CD các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại F chứng minh tam giác OEF là tam giác vuông

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Khánh]

$AO\perp BC,CD\perp BC\Rightarrow AO//CD$

$\widehat{EMA}=\widehat{EDC}=\widehat{ECA}$

$\Rightarrow EMCA$ nội tiếp (1)

$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{AMC}$

$\Rightarrow \widehat{CEF}=\widehat{CMN}$ (2)

(1)$\Rightarrow \widehat{CAN}=\widehat{CED}=\widehat{CFN}$

$\Rightarrow CAFN$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{CFE}=\widehat{CNM}$ (3)

từ (2, 3)$\Rightarrow △CEF\sim △CMN$ (g, g)

2)

$MNDC$ là hình thang (4)

$\widehat{NDC}=\widehat{AEC}=\widehat{AMC}=\widehat{MCD}$ (5)

từ (4, 5)$\Rightarrow MNDC$ là hình thang cân

$O$ nằm trên trung trực của $CD$ cũng là trung trực của $MN$

$\Rightarrow OM=ON$