Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O A B D E C H P F N M I
a) Ta có \(\sin\widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}\). Suy ra \(\widehat{BAC}=2\widehat{OAB}=60^0\)
Vì AB = AC nên \(\Delta ABC\) đều. Vậy \(BC=AB=OB\sqrt{3}=R\sqrt{3}\)
Gọi I là tiếp điểm của FN với (O). Ta có:
\(\widehat{MON}=\widehat{IOM}+\widehat{ION}=\frac{1}{2}\left(\widehat{IOB}+\widehat{IOC}\right)=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=60^0=\widehat{MCN}\)
Suy ra tứ giác MNCO nội tiếp.
b) Theo hệ thức lượng: \(\overline{AH}.\overline{AO}=AB^2=\overline{AD}.\overline{AE}\). Suy ra tứ giác DHOE nội tiếp
Ta thấy \(OD=OE,HO\perp HB\), do đó HO,BC là phân giác ngoài và phân giác trong \(\widehat{DHE}\)
Dễ thấy D và P đối xứng nhau qua OA vì dây cung \(DP\perp OA\)
Vì \(\widehat{DHE}+\widehat{DHP}=2\left(\widehat{DHB}+\widehat{DHA}\right)=180^0\) nên P,H,E thẳng hàng.
c) Do N,O,E thẳng hàng nên \(\widehat{DOE}=180^0-\widehat{MON}=120^0\). Suy ra \(DE=R\sqrt{3}\)
Theo hệ thức lượng thì:
\(AD.AE=AB^2\Rightarrow AD^2+AD.DE=AB^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-\left(\frac{AB}{DE}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(\frac{AD}{DE}\right)^2+\frac{AD}{DE}-1=0\) vì \(AB=DE=R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{AD}{DE}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\left(c\right)\\\frac{AD}{DE}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\) vì \(\frac{AD}{DE}>0\)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.\)
a: Xét tứ giác ODAE có
góc ODA+góc OEA=180 độ
=>ODAE là tứ giác nội tiếp
b: \(AE=\sqrt{\left(3R\right)^2-R^2}=2\sqrt{2}\cdot R\)
\(OI=\dfrac{OE^2}{OA}=\dfrac{R^2}{3R}=\dfrac{R}{3}\)
c: Xét ΔDIK vuông tại I và ΔDHE vuông tại H có
góc IDK chung
=>ΔDIK đồng dạng vơi ΔDHE
=>DI/DH=DK/DE
=>DH*DK=DI*DE=2*IE^2
Cho đường tròn tâm OO bán kính OAOA. Điểm CC thuộc đoạn thẳng AOAO (CC khác AA và OO). Đường thẳng vuông góc với AOAO tại CC cắt đường tròn (O)(O) tại hai điểm DD và KK. Tiếp tuyến tại DD của đường tròn (O)(O) cắt đường thẳng AOAO tại EE. Tiếp tuyến tại AA của đường tròn (O)(O) cắt đường thẳng DEDE tại FF. Gọi HH là giao điểm của hai đường thẳng FOFO và DKDK.
Chứng minh các tứ giác AFDOAFDO và AHOKAHOK là tứ giác nội tiếp.
xet tu giac AFDO co: goc FAO=FDO=90(gt)
=> tu giac AFDO noi tiep ( tong 2 goc doi dien bang 180)
vi OA vuong goc voi DK tai C (gt) va D,K thuoc (O)
=> OC la duong trung truc cua DK
=> tam giac ODK can tai O
=> goc ODK = OKD (1)
Mat khac, ta lai co F nam ngoai (O);
FA va FD lan luot la cac tiep tuyen cua (O)
=> FO vuong goc voi AD
va ta thay DC vuong goc voi OA
nen H la truc tam cua tam giac OAD
=>AH vuong goc voi OD=> AH song song voi ED
=> goc HAO=DEO (dong vi) (2)
Ta thay goc DEO= 90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOE)
va goc ODK=90- goc DOE (tong 3 goc trong tam giac DOK)
=>goc ODK=DEO (3)
Tu (1);(2);(3)=> goc OAH=OKH
=>tu giac AHOK noi tiep