
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.


Do 3x+1 \(⋮\)y và 3y+1\(⋮\) x
nên (3x+1)(3y+1) \(⋮\)xy
=>9xy+3x+3y+1 \(⋮\)xy
mà 9xy \(⋮\)xy
=>3x+3y+1 \(⋮\)xy
=>\(\frac{3x}{y}\) + 3 +y\(\frac{1}{y}\) chia hết cho x
Do vai trò của x,y như nhau nên giả sử
=>\(\frac{x}{y}\le1\)
=>\(\frac{3x}{y}\le3\)
y>1 =>\(\frac{1}{y}< 1\)
=>\(\frac{3x}{y}+3+\frac{1}{y}< 7\)
=>1<x <7
=>x = 2,3,4,5,6
Thay x vào 3x+1\(⋮\) y và 3y+1\(⋮\) x
Xl bn nha
Chỗ

Do \(3x-1⋮y\) và \(3y+1⋮x\)nên \(\left(3x-1\right)\left(3y+1\right)⋮xy\)
\(\Rightarrow9xy+3x+3y+1⋮xy\)
Mà \(9xy⋮xy\)
\(\Rightarrow\frac{3x}{y}+3+y\frac{1}{y}⋮x\)
Do vai trò của x , y như nhau , nên giả sử
\(\Rightarrow\frac{x}{y}\le1\)
\(\Rightarrow\frac{3x}{y}+3+\frac{1}{y}< 7\)
\(\Rightarrow1< x< 7\)
\(\Rightarrow x=2;3;4;5;6\)
Thay x vào 3x + 1 \(⋮\)y và 3y-1\(⋮x\)

Ta cần tìm tất cả các cặp số hữu tỉ \(\left(\right. x , y \left.\right)\) sao cho:
- \(x + y \in \mathbb{Z}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \in \mathbb{Z}\)
🔍 Bước 1: Gọi \(x , y \in \mathbb{Q}\) (số hữu tỉ), đặt:
- \(x + y = a \in \mathbb{Z}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} = \frac{a}{x y} = b \in \mathbb{Z}\)
Từ đó:
\(\frac{a}{x y} = b \Rightarrow x y = \frac{a}{b}\)
Vậy ta có hệ:
\(\left{\right. x + y = a \in \mathbb{Z} \\ x y = \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\)
🔍 Bước 2: Giải hệ bằng định lý Vi-ét đảo
Từ tổng và tích \(x + y = a\), \(x y = \frac{a}{b}\), ta xem \(x , y\) là nghiệm của phương trình bậc 2:
\(t^{2} - a t + \frac{a}{b} = 0\)
Phương trình này có nghiệm hữu tỉ khi:
- Hệ số \(a \in \mathbb{Z}\), \(\frac{a}{b} \in \mathbb{Q}\)
- Điều kiện cần là phân biệt và hữu tỉ, tức là:
\(\Delta = a^{2} - 4 \cdot \frac{a}{b} = a^{2} - \frac{4 a}{b} \in \mathbb{Q}\)
→ Ta muốn nghiệm là hữu tỉ, nên căn thức phải là số hữu tỉ, tức:
\(a^{2} - \frac{4 a}{b} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ\)
Để đơn giản, ta chọn các giá trị nhỏ để tìm cặp cụ thể.
🔍 Bước 3: Thử giá trị cụ thể
Ví dụ: chọn \(a = 2\), \(b = 1\)
→ \(x + y = 2\), \(x y = \frac{2}{1} = 2\)
Giải phương trình:
\(t^{2} - 2 t + 2 = 0 \Rightarrow \Delta = 4 - 8 = - 4 \Rightarrow \text{v} \hat{\text{o}} \&\text{nbsp};\text{nghi}ệ\text{m}\&\text{nbsp};(\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ph}ả\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ)\)
Thử \(a = 2\), \(b = 2 \Rightarrow x y = 1\)
Phương trình: \(t^{2} - 2 t + 1 = 0 \Rightarrow \left(\right. t - 1 \left.\right)^{2} = 0 \Rightarrow x = y = 1\)
✅ Thỏa mãn:
- \(x + y = 2 \in \mathbb{Z}\)
- \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 + 1 = 2 \in \mathbb{Z}\)
Vậy \(\left(\right. 1 , 1 \left.\right)\) là 1 cặp nghiệm.
✅ Kết luận tổng quát:
Với \(x , y \in \mathbb{Q}\), thỏa mãn:
\(x + y = a \in \mathbb{Z} , x y = \frac{a}{b} \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; b \in \mathbb{Z}\)
Thì \(x , y\) là nghiệm của phương trình:
\(t^{2} - a t + \frac{a}{b} = 0\)
Muốn \(x , y \in \mathbb{Q}\) thì phương trình trên phải có nghiệm hữu tỉ. Do đó:
✅ Tập hợp nghiệm là các cặp số hữu tỉ \(\left(\right. x , y \left.\right)\) sao cho:
- \(x + y \in \mathbb{Z}\)
- \(x y \in \mathbb{Q}\)
- Và \(x , y\) là nghiệm hữu tỉ của phương trình \(t^{2} - \left(\right. x + y \left.\right) t + x y = 0\)
bài trên đang còn: đồng thời ( 3y+1)\(⋮\)y