Câu hỏi của Violet Love

Question

Thầy/Cô, Các bạn giải giúp em câu này ạ !

Chứng minh rằng : (a⁵+b⁵)(a+b) $\ge$ (a⁴+b⁴)(a²+b²)...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Biến đổi tương đương:

$\Leftrightarrow a^6+a^5b+ab^5+b^6>a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6$

$\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2-a^2b^4+ab^5\ge0$

$\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0$

$\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0$

$\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0$ (luôn đúng)

Câu trả lời:

Biến đổi tương đương:

$\Leftrightarrow a^6+a^5b+ab^5+b^6>a^6+a^4b^2+a^2b^4+b^6$

$\Leftrightarrow a^5b-a^4b^2-a^2b^4+ab^5\ge0$

$\Leftrightarrow a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\ge0$

$\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0$

$\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0$ (luôn đúng)