Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH. Gọi M và N là hình chiếu của H lên AB và AC. CMR: AB.AM=AC.AN
Xét tứ giác AMHN có góc ANM = góc AHM (1) (2 góc trong tứ giác nội tiếp cùng nhìn xuống cạnh AM)
Mà góc AHM = góc B = 90o – BHM (2)
(1)(2) => góc ANM = góc B
Xét tam giác ANM và tam giác ABC có:
Góc A chung
Góc ANM = góc B
ð tam giác ANM đồng dạng tam giác ABC (g – g)
ð AN/AB = AM/AC
ð AN.AC = AB.AM
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH với đường cao BM:
\(AH^2=AM.AB\) (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao CN:
\(AH^2=AN.AC\) (2)
(1);(2)\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)
a
Đường tròn (O)(O), đường kính AHAH có \(\widehat{AMH}\)=90∘
⇒HM⊥ABAMH^=90∘⇒HM⊥AB.
ΔAHBΔAHB vuông tại HH có HM⊥AB
⇒AH2=AB.AMHM⊥AB⇒AH2=AB.AM.
Chứng minh tương tự AH2=AC.ANAH2=AC.AN.
\(\Rightarrow\) AB.AM=AC.ANAB.AM=AC.AN.
B
Theo câu a ta có AB.AM=AC.AN
⇒AMAC=ANABAB.AM=AC.AN⇒AMAC=ANAB.
Tam giác AMNAMN và tam giác ACBACB có \(\widehat{MAN}\)MAN^ chung và AMAC=ANABAMAC=ANAB.
⇒ΔAMN∼ΔACB⇒ΔAMN∼ΔACB (c.g.c).
⇒\(\widehat{AMN}\)=\(\widehat{ACB}\)
c.
Tam giác ABCABC vuông tại AA có II là trung điểm của BC
⇒IA=IB=ICBC⇒IA=IB=IC.
⇒ΔIAC⇒ΔIAC cân tại I
⇒ \(\widehat{IAC}\)= \(\widehat{ICA}\)
Theo câu b ta có \(\widehat{AMN}\)= \(\widehat{ACB}\)
⇒ \(\widehat{IAC}\)= \(\widehat{AMN}\)
Mà \(\widehat{BAD}\)\(+\widehat{IAC}\)=90∘
⇒\(\widehat{BAD}\)+ \(\widehat{AMN}\)
=90∘
\(\Rightarrow\widehat{ADM}\)
=90∘BAD^+IAC^=90∘⇒BAD^+AMN^=90∘⇒ADM^=90∘.
Ta chứng minh ΔABCΔABC vuông tại AA có AH⊥BC
⇒AH2=BH.CHAH⊥BC⇒AH2=BH.CH.
Mà BC=BH+CH
⇒1AD=BH+CHBH.CH
⇒1AD=1HB+1HC.
\(\Rightarrow\) BMNCBMNC là tứ giác nội tiếp.
Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
a: BC=BH+CH
=4+9=13
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH^2=4\cdot9=36\)
=>AH=6
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot CB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\AC=\sqrt{9\cdot13}=3\sqrt{13}\end{matrix}\right.\)
b: ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1), (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao ứng với cạnh huyền AB
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao ứng với cạnh huyền AC
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
+Xét tứ giác ANHM:
AMH^ = 90o (HM _|_ AB)
ANH^ = 90o (HN _|_ AC)
=> AMH^ + ANH^ = 180o => tứ giác ANHM nội tiếp
+ Ta có: AMN^ = AHN^ (cùng chắn cung AN của (ANHM))
AHN^ = ACB^ (cùng phụ HNC^)
=> AMN^ = ACB^
+Xét tam giác AMN và tam giác ACB:
A^ chung (gt);
AMN^ = ACB^ (cmt)
=> tam giác AMN đồng dạng tam giác ACB (g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AB\cdot AM=AN\cdot AC\left(đpcm\right)\)