Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đề bài : Cho tam giác MAB vuông tại H ( MB<MA), kẻ MH vuông góc với AB( H thuộc AB). Đường tròn tâm O đường kính MH cắt MA và MB lần lượt tại E và F( E,F khác M). a) Chứng minh tứ giác AEFB nội tiếp b) Đường thẳng EF cắt đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác MAB tại P và Q(P thuộc cung MB). Chứng minh tam giác MPQ cân c) Gọi D là giao điểm thứ 2 của (O) với (I). Đường thẳng EF cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh ba điểm M,D,K thẳng hàng
đúng hog
M O A B E N H F
Ta có: AE // MO => ^AEM=^OME (So le trong) hay ^AEF=^HMF
Mà ^AEF=^FBH (=^FBA) (Cung chắn cung AF) => ^HMF=^FBH
=> Tứ giác MFHB nội tiếp đường tròn.
=> ^BFH=^BMH. Mà ^BMH=^ABO (Cùng phụ với ^MBH) => ^BFH=^ABO.
Dễ thấy MO vuông góc AB tại H, do AE//MO => AE vuông góc AB (Q/h song song, vg góc)
Ta thấy 3 điểm B;A;E cùng nằm trên (O) và ^BAE=900 => 3 điểm B;O;E thẳng hàng
=> ^ABO=^ABE. Do đó ^BFH=^ABE.
Lại có: ^ABE=^AFE (Cùng chắn cung AE) và ^AFE=^MFN (Đối đỉnh) => ^BFH=^MFN.
Xét \(\Delta\)FHB và \(\Delta\)FNM: ^BFH=^MFN; ^FBH=^FMN
=> \(\Delta\)FHB ~ \(\Delta\)FNM (g.g) => \(\frac{BH}{MN}=\frac{FH}{FN}\)(1)
^MFN + ^NFB = 900 => ^BFH + ^NFB = 900 => ^NFH = 900
=> \(\Delta\)NFH ~ \(\Delta\)HFA (g.g) => \(\frac{AH}{NH}=\frac{HF}{FN}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{BH}{MN}=\frac{AH}{NH}\). Mà AH=BH => MN=NH, thay vào hệ thức:
\(\frac{HB}{MN}=\frac{HF}{NF}\Leftrightarrow\frac{HB}{HF}=\frac{MN}{NF}\)(Do \(\Delta\)BHF ~ \(\Delta\)MNF)
=> \(\frac{HB}{HF}=\frac{NH}{NF}\Leftrightarrow\frac{HB^2}{HF^2}=\frac{NH^2}{NF^2}\)
Áp dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{EF}{MF}=\frac{AF}{NF}\)
\(\Rightarrow\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=\frac{NH^2}{NF^2}-\frac{AF}{NF}=\frac{NH^2-AF.NF}{NF^2}\)
Dễ có: \(\Delta\)NFH ~ \(\Delta\)NHA => \(\frac{NF}{NH}=\frac{NH}{NA}\Rightarrow NH^2=NF.NA\)
\(\Rightarrow NH^2-AF.NF=NF.NA-AF.NF=NF.\left(NA-AF\right)=NF.NF=NF^2\)
\(\Rightarrow\frac{NH^2-AF.NF}{NF^2}=\frac{NF^2}{NF^2}=1\Rightarrow\)\(\frac{HB^2}{HF^2}-\frac{EF}{MF}=1.\)(đpcm).