Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Hình bạn tự vẽ nha
\(BM\cdot BD+CM\cdot CA=BC^2\)
\(\Leftrightarrow BM\cdot BD+CM\cdot CA=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2-AC\cdot CM+AB^2-BM\cdot BD=0\)
\(\Leftrightarrow AC\left(AC-CM\right)+BM^2-AM^2-BM\cdot BD=0\)
\(\Leftrightarrow AC\cdot AM-AM^2-BM\left(BD-BM\right)=0\)
\(\Leftrightarrow AM\left(AC-AM\right)-BM\cdot MD=0\)
\(\Leftrightarrow AM\cdot MC-BM\cdot MD=0\left(1\right)\)
Lại có:\(\Delta DMC\sim AMB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MD}{AM}\)
\(\Rightarrow AM\cdot MC=BM\cdot MD\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
a) Xét \(\Delta CEF\)và \(\Delta CAB\)có:
\(\widehat{CFE}=\widehat{CBA}\left(=90^0\right)\).
\(\widehat{BCA}\)chung.
\(\Rightarrow\Delta CEF~\Delta CAB\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh).
b) Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta FBK\)có:
\(\widehat{KBC}\)chung.
\(\widehat{BAC}=\widehat{BFK}\left(=90^0\right)\).
\(\Rightarrow\Delta ABC~\Delta FBK\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{BA}{BF}=\frac{BC}{BK}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow BA.BK=BF.BC\)(điều phải chứng minh).
A B C E D H M
a) Xét tam giác EDB và tam giác EAC có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{E}chung\\\widehat{EAC}=\widehat{EDB}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta EDB~EAC\left(g.g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{ED}{EB}=\frac{EA}{EC}\)( các cạnh tương ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow\frac{ED}{EA}=\frac{EB}{EC}\)
Xét tam giác EDA và EBC có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{E}chung\\\frac{ED}{EA}=\frac{EB}{EC}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta EDA~\Delta EBC\left(g.g\right)}\)
\(\Rightarrow\widehat{EDA}=\widehat{EBC}\)
b) Kẻ \(MH\perp BC\)\(\left(H\in BC\right)\)
Xét tam giác BMH và tam giác BCD có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{DBC}chung\\\widehat{BHM}=\widehat{BDC}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta BMH~\Delta BCD\left(g.g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{BM}{BH}=\frac{BC}{BD}\)( các cạnh t.ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow BM.BD=BH.BC\left(1\right)\)
Xét tam giác CMH và tam giác CBA có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{BCA}chung\\\widehat{CHM}=\widehat{CAB}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta CMH~\Delta CBA\left(g.g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{CM}{CH}=\frac{CB}{CA}\)( các cạnh t.ứng tỉ lệ )
\(\Rightarrow CM.CA=CH.CB\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BM.BD+CM.CA=BC.BH+BC.CH\)
\(\Rightarrow BM.BD+CM.CA=BC.\left(BH+HC\right)\)
\(\Rightarrow BM.BD+CM.CA=BC^2\)không đổi
Vậy khi M di chuyển trên AC thì tổng \(BM.BD+CM.CA\)có giá trị không đổi