Câu hỏi của Trần Anh Thơ

Question

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b+ c = 3. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}$ ≥ 6

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$\left(1.a+\sqrt{3}.\sqrt{3}b\right)^2\le\left(1+3\right)\left(a^2+3b^2\right)\Rightarrow\sqrt{a^2+3b^2}\ge\frac{a+3b}{2}$

$\Rightarrow VT\ge\frac{a+3b}{2}+\frac{b+3c}{2}+\frac{c+3a}{2}=2\left(a+b+c\right)=6$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Câu trả lời:

$\left(1.a+\sqrt{3}.\sqrt{3}b\right)^2\le\left(1+3\right)\left(a^2+3b^2\right)\Rightarrow\sqrt{a^2+3b^2}\ge\frac{a+3b}{2}$

$\Rightarrow VT\ge\frac{a+3b}{2}+\frac{b+3c}{2}+\frac{c+3a}{2}=2\left(a+b+c\right)=6$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$