Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có (a + c)2 < ab + bc - 2ac
<=> ab + bc - a2 - c2 - 4ac > 0 (1)
Ta lại có a2 + b2 + c2 \(\ge\)ab + bc +ca > ab + bc (2)
Từ (1) và (2) => b2 - 4ac > 0
Vậy PT luôn có nghiệm
Lời giải:
Với $a=0$ thì pt trở thành: \(bx+c=0\)
\((c+a)^2< ab+bc-2ac\Leftrightarrow c^2< bc\Rightarrow c(c-b)< 0\Rightarrow 0< c< b\)
PT luôn có nghiệm \(x=\frac{-c}{b}\)
Với $a\neq 0$
Nếu \(ac<0\Rightarrow b^2-ac>0\Leftrightarrow \Delta>0\) nên pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm
Nếu \(ac>0, c>0\Rightarrow a>0\)
Ta có: \((c+a)^2< ab+bc-2ac< ab+bc\) do \(ac>0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)^2< b(a+c)\)
Vì \(a>0, c>0\Rightarrow a+c>0\), chia 2 vế cho $a+c$ thu được:
\(0< c+a< b\Rightarrow \Delta'=b^2-4ac>(c+a)^2-4ac=(a-c)^2\geq 0\)
Do đó pt \(ax^2+bx+c=0\) có nghiệm
1,
\(A=1+a+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+1+b+\frac{1}{a}+\frac{b}{a}\)
\(\ge1+1+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+a+b+\frac{a+b}{ab}=4+a+b+\frac{4\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^2}=4+a+b+\frac{4}{a+b}\)
lại có \(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
\(4+a+b+\frac{4}{a+b}=4+\left(a+b+\frac{2}{a+b}\right)+\frac{2}{a+b}\ge4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge4+3\sqrt{2}\)
câu 2
ta có:\(\left(2b^2+a^2\right)\left(2+1\right)\ge\left(2b+a\right)^2\Rightarrow3c\ge a+2b\)
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\ge\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(Q.E.D\right)\)
\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}\right)^2+\left(\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)\le\left(\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)\le ab\)
Thấy: \(c\left(a-c+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow ac-\left(c^2-cb+c^2\right)\)
\(c< b\Rightarrow ac< ab\)
Do đó: \(ac-\left(c^2-cb+c^2\right)< ab\)
Vậy: \(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
ta cần cm \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le ab\)
mà theo bunhia \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\le\left(c+b-c\right)\left(c+a-c\right)=ab\)
Ta có: \(\Delta=b^2-4ac\)
Lại có: \(\left(a+c\right)^2< ab+bc-2ac\)
\(\Rightarrow-2ac>b\left(a+c\right)+\left(a+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\Delta=b^2-4ac>b^2+2b\left(a+c\right)+2\left(a+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\Delta>\left(a+b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2>0\)
Suy ra phương trình \(ax^2+bx+c\) luôn có nghiệm