Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đành giải tạm bằng nick này vì sợ một vài thành phần trẻ trâu anti phá phách :poor:
Phân tích và giải
Dễ thấy: Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)
\(\Rightarrow L=Σ\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}=\dfrac{3}{4}\text{ và }F=-\dfrac{4}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}=-\dfrac{1}{2}\)
Khi đó \(VT=L-F=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\)
Ta sẽ chia làm 2 bước cm:
B1: \(Σ\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}\le\dfrac{3}{4}\). Ta xét BĐT :
\(\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}=\dfrac{a}{a^2+2a+1}\le\dfrac{3\left(a^{2k}+a^k\right)}{8\left(a^{2k}+a^k+1\right)}\) (cần tìm \(k\) thỏa mãn)
\(\Leftrightarrow8a\left(a^{2k}+a^k+1\right)-3\left(a^{2k}+a^k\right)\left(a^2+2a+1\right)\le0\)\(\Leftrightarrow f\left(a\right)=-3a^{2k}+2a^{k+1}-3a^{k+2}+2a^{2k+1}-3a^{2k+2}-3a^k+8a\)
\(\Rightarrow f'\left(a\right)=2k\cdot-3a^{2k-1}+\left(k+1\right)2a^k-\left(k+2\right)3a^{k+1}+\left(2k+1\right)2a^{2k}-\left(2k+2\right)3a^{2k+1}-k\cdot3a^{k-1}+8a\)
\(\Rightarrow f'\left(1\right)=0\Rightarrow-12k=0\Rightarrow k=0\)
Hay BĐT phụ cần tìm là \(\dfrac{a}{a^2+2a+1}\le\dfrac{3\left(a^{2\cdot0}+a^0\right)}{8\left(a^{2\cdot0}+a^0+1\right)}=\dfrac{1}{4}\) (bài này \(k\) đẹp ra luôn \(\farac{1}{4}\) cộng vào là ok =))
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\left(a-1\right)^2}{4\left(a+1\right)^2}\le0\) *Đúng* \(\RightarrowΣ\dfrac{a}{\left(a+1\right)^2}\leΣ\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)
B2: CM \(-\dfrac{4}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\le-\dfrac{1}{2}\)
Tự cm nhé Goodluck :v
\(A=\left(2x+\dfrac{1}{3}\right)^4-1\ge-1\forall x\in R\)
Dấu "=" xảy ra khi\(2x+\dfrac{1}{3}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{6}\)
\(B=-2\left(x-3\right)^2-\dfrac{7}{11}\left|3y+7\right|-2011\ge-2011\forall x,y\in R\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=0\\3y+7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
\(C=\left|2x+1\right|+\left|3-2x\right|\ge\left|2x+1+3-2x\right|=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}2x+1=0\\3-2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
$ \frac{a^3}{(1 + b)(1 + c)} + \frac{1 + b}{8} + \frac{1 + c}{8} \geq \frac{3}{4}a$
$\frac{b^3}{(1 + c)(1 + a)} + \frac{1 + c}{8} + \frac{1 + a}{8} \geq \frac{3}{4}b$
$\frac{c^3}{(1 + a)(1 + b)} + \frac{1 + a}{8} + \frac{1 + b}{8} \geq \frac{3}{4}c $
Cộng vế theo vế ta được:
$ P + \frac{2(a + b + c) + 6}{8} \geq \frac{3}{4}(a + b + c) $
$<=> P \geq \frac{1}{2}(a + b + c) - \frac{3}{4}$
$=> P \geq \frac{3}{4} (dpcm)$
Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)
Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)
Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V
Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V
Bài 7: Tương đương
( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)
Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị
@Ace Legona @Akai Haruma @Hung nguyen @Hà Nam Phan Đình @Neet
câu b là áp dụng bất đẳng thức cô -si ko cần chứng minh
a,Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương a,\(\dfrac{1}{b}\)ta có
a+\(\dfrac{1}{b}\)>=\(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)
chứng minh tương tự ta có
b+\(\dfrac{1}{c}\)>=2\(\sqrt{\dfrac{b}{c}}\)
c+\(\dfrac{1}{a}\)>=\(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\)
nhân chúng vs nhau ta đc cái cần phải chứng minh