Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
a, \(BĐT\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng vì a,b>0)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
b, Áp dụng bđt câu a ta có: \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
=>\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
Cộng 3 bđt vế theo vế ta được:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\)
ap dung bdt cauchy -schwaz dang engel ta co
\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)\(\)
ma \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)
dau =xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{a+b}\)