Câu hỏi của Phạm Lợi

Question

cho a>0,b>0,c>0. chứng minh : $a^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+a^2\right)\ge6abc$

Y · Accepted Answer

+ $c^2+1\ge2c$ $\forall c$

$\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow c=1$

+ Tương tự ta có :

$c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=1$

$b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=1$

do đó : $a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)$

$\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương $a^2c;bc^2;ab^2$ ta có :

$a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c$

Do đó : $a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)$

$\ge2\cdot3abc=6abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Câu trả lời:

+ $c^2+1\ge2c$ $\forall c$

$\Rightarrow a^2\left(c^2+1\right)\ge2a^2c$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow c=1$

+ Tương tự ta có :

$c^2\left(b^2+1\right)\ge2bc^2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=1$

$b^2\left(a^2+1\right)\ge2ab^2$. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=1$

do đó : $a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(b^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)$

$\ge2\left(a^2c+bc^2+ab^2\right)$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương $a^2c;bc^2;ab^2$ ta có :

$a^2c+bc^2+ab^2\ge3\sqrt[3]{a^2c\cdot bc^2\cdot ab^2}=3abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a^2c=bc^2=ab^2\Leftrightarrow a=b=c$

Do đó : $a^2\left(c^2+1\right)+c^2\left(c^2+1\right)+b^2\left(a^2+1\right)$

$\ge2\cdot3abc=6abc$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Muốn Một Cái Tên Dài Nhưng Nghĩ Mãi... · Answer

Nghĩ đơn giản ra

VT = a² + c²a² + c² + b²c² + b² + a²b² ≥ $6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}$ = 6abc

Câu trả lời:

Nghĩ đơn giản ra

VT = a² + c²a² + c² + b²c² + b² + a²b² ≥ $6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}$ = 6abc