Question

[Kiệt Nguyễn]

Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)

Answer 1

[tth_new]

\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{3a^3}{\left[5a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b+c\right)}}\le1\)

Theo Am-GM: \(VT=\Sigma\sqrt{\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}.\frac{a}{a+b+c}}\le\Sigma\frac{3a^2}{2\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\frac{1}{2}\)

Như vậy nó là đủ để chứng minh rằng: \(\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1\)

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) nó tương đương:

(Gõ Latex, không hiện thì vô thống kê hỏi đáp xem)

Đây là điều hiển nhiên/

PS: Bài này quan trọng là ý tưởng phá căn thôi chứ không có gì khó. Lúc đầu UCT bất đẳng thức cuối cho đẹp nhưng phải xét các TH mệt lắm, chưa rành nên không làm cách đó:D

Answer 2

[tth_new]

Chứng minh: \(\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1\), cách 2:

Đổi biến sang pqr: (Vô thống kê hỏi đáp xem nếu olm không hiện Latex)

Nếu \(p^2\le4q\) ta cần:

(Hiển nhiên)

Nếu \(p^2\ge4q\) thì cần chứng minh:

(Hiển nhiên)

Từ 2 TH trên ta thu được điều phải chứng minh.