Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Svarxơ:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\)\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}+\dfrac{9}{3c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}\)\(=\dfrac{36}{a+2b+3c}\)
CMTT: \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{36}{2a+3b+c}\)
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{36}{3a+b+2c}\)
Cộng vế theo vế, ta có: \(6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=36F\)
Có: \(ab+bc+ca=3abc\)
Vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc:
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=3\)
\(\Rightarrow36F\le18\Leftrightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)
Vậy Fmin\(=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
từ giả thiết ab+bc+ca = 3abc\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
ta có \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+c+b+c+b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
tương tự ta cũng có\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\end{cases}}\)
cộng theo vế \(\Rightarrow VT\le\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}\)
\("="\)khi a=b=c=....
hic :( tự đăng rồi tự giải ra luôn :((( sorry mn
Cứ phải cảnh giác bạn à:
không biết hay vô tình hay hưu ý nữa nhưng các câu hỏi sai xuất hiện rất nhiều
khi hỏi lại, không thấy phải hồi. hay là người hỏi cũng chưa hiểu câu hỏi
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{2b}+\dfrac{9}{3c}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}=\dfrac{36}{a+2b+3c}\)
\(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{4}{2a}+\dfrac{9}{3b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(2+3+1\right)^2}{2a+3b+c}=\dfrac{36}{2a+3b+c}\)
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}=\dfrac{9}{3a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{2c}\ge\dfrac{\left(3+1+2\right)^2}{3a+b+2c}=\dfrac{36}{3a+2b+c}\)
Cộng theo vế: \(6\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge36F\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge6F\)
Mặt khác: \(ab+bc+ac=3abc\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ac}{abc}=3\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
\(\Rightarrow18\ge36F\Leftrightarrow F\le\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Sử dụng giả thiết a + b + c = 3, ta được: \(\frac{a^3}{3a-ab-ca+2bc}=\frac{a^3}{\left(a+b+c\right)a-ab-ca+2bc}\)\(=\frac{a^3}{a^2+2bc}\)
Tương tự ta có \(\frac{b^3}{3b-bc-ab+2ca}=\frac{b^3}{b^2+2ca}\); \(\frac{c^3}{3c-ca-bc+2ab}=\frac{c^3}{c^2+2ab}\)
Khi đó thì \(P=\frac{a^3}{a^2+2bc}+\frac{b^3}{b^2+2ca}+\frac{c^3}{c^2+2ab}+3abc\)\(=\left(a+b+c\right)-\frac{2abc}{a^2+2bc}-\frac{2abc}{b^2+2ca}-\frac{2abc}{c^2+2ab}+3abc\)\(=3+abc\left[3-2\left(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\right)\right]\)\(\le3+abc\left[3-2.\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}\right]\)(Theo BĐT Bunyakovsky dạng phân thức)\(=3+abc\left[3-2.\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\right]\le3+\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=4\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Lời giải:
Từ \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow \frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=3\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\right)(a+b+b+c+c+c)\geq (1+1+1+1+1+1)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}\geq \frac{36}{b+2c+3a}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\geq \frac{36}{c+2a+3b}\)
Cộng các BĐT vừa thu được ở trên theo vế và rút gọn:
\(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}+\frac{36}{b+2c+3a}+\frac{36}{c+2a+3b}\)
\(\Leftrightarrow 6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq 36F\)
\(\Leftrightarrow 18\geq 36F\Leftrightarrow F\leq \frac{1}{2}\)
Vậy \(F_{\max}=\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
1. Vai trò a, b, c như nhau. Không mất tính tổng quát. Giả sử \(a\ge b\ge0\)
Mà \(ab+bc+ca=3\). Do đó \(ab\ge1\)
Ta cần chứng minh rằng \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\left(1\right)\)
Và \(\frac{2}{1+ab}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\left(2\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\\ \Leftrightarrow\left(ab-a^2\right)\left(1+b^2\right)+\left(ab-b^2\right)\left(1+a^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[-a\left(1+b^2\right)+b\left(1+a^2\right)\right]\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\left(BĐT:đúng\right)\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow c^2+3-ab\ge3abc^2\\ \Leftrightarrow c^2+ca+bc\ge3abc^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc\)
BĐT đúng, vì \(\left(a+b+c\right)^2>3\left(ab+bc+ca\right)=q\)
và \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
Nên \(a+b+c\ge3\ge3abc\)
Từ (1) và (2) ta có \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng \(\frac{9}{x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\), ta được
\(\frac{9}{a+3b+2c}=\frac{1}{a+c+b+c+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Do đó ta được
\(\frac{ab}{a+3b+2c}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{a}{2}\right)\)
Hoàn toàn tương tự ta được
\(\frac{bc}{2a+b+3c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{b}{2}\right);\frac{ac}{3a+2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}+\frac{c}{2}\right)\)
Cộng theo vế các BĐT trên ta được
\(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}\)Vậy BĐT đc CM
ĐẲng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c >0
Ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\)\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự ta có: \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2c}\right)\)
và \(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}\right)\)
Cộng theo vế ta có:\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
ko bit
lạy thánh ko biết cũng trả lời rảnh