Question

[Nguyễn Hồng Thục Uyên]

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 4:

a: AB là đường trung trực của HD

=>AB⊥HD tại M và M là trung điểm của HD

Xét ΔAMD vuông tại M và ΔAMH vuông tại M có

AM chung

MD=MH

Do đó: ΔAMD=ΔAMH

=>AD=AH(1) và \(\hat{MAD}=\hat{MAH}\)

AC là đường trung trực cuả HE

=>AC⊥HE tại N và N là trung điểm của HE

Xét ΔANH vuông tại N và ΔANE vuông tại N có

AN chung

NH=NE

Do đó: ΔANH=ΔANE

=>AH=AE(2) và \(\hat{NAH}=\hat{NAE}\)

Từ (1),(2) suy ra AD=AE

b: Xét ΔADI và ΔAHI có

AD=AH

\(\hat{DAI}=\hat{HAI}\)

AI chung

Do đó: ΔADI=ΔAHI

=>\(\hat{ADI}=\hat{AHI}\) (3)

Xét ΔAKH và ΔAKE có

AK chung

\(\hat{KAH}=\hat{KAE}\)

AH=AE

Do đó: ΔAKH=ΔAKE

=>\(\hat{AHK}=\hat{AEK}\left(4\right)\)

ΔADE cân tại A

=>\(\hat{ADE}=\hat{AED}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\hat{AHI}=\hat{AHK}\)

=>HA là phân giác của góc IHK

Câu 2:

a: F nằm trên đường trung trực của CE

=>FC=FE(1)

Xét ΔABF và ΔAEF có

AB=AE
\(\hat{BAF}=\hat{EAF}\)

AF chung

Do đó: ΔABF=ΔAEF

=>FB=FE(2)

Từ (1),(2) suy ra FC=FB

=>ΔFBC cân tại F

b: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>\(\hat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)

ΔABE vuông tại A có AB=AE
nên ΔABE vuông cân tại A

=>\(\hat{ABE}=\hat{AEB}=45^0\)

Ta có: \(\hat{ABE}+\hat{CBE}=\hat{ABC}\)

=>\(\hat{CBE}=60^0-45^0=15^0\)

Gọi FH là đường trung trực của CE

=>FH⊥CE tại H và H là trung điểm của CE

Kẻ FK⊥AB tại K

Xét tứ giác AKFH có \(\hat{AKF}=\hat{AHF}=\hat{HAK}=90^0\)

nên AKFH là hình chữ nhật

mà AF là phân giác của góc KAH

nên AKFH là hình vuông

=>FH=FK

Xét ΔFKB vuông tại K và ΔFHC vuông tại H có

FB=FC

FK=FH

Do đó: ΔFKB=ΔFHC

=>\(\hat{KFB}=\hat{CFH}\)

mà \(\hat{KFB}+\hat{BFE}+\hat{HFE}=\hat{KFH}=90^0\)

nên \(\hat{CFH}+\hat{HFE}+\hat{BFE}=90^0\)

=>\(\hat{CFB}=90^0\)

=>ΔBFC vuông cân tại F

=>\(\hat{FBC}=\hat{FCB}=45^0\)

\(\hat{FBE}=\hat{FBC}+\hat{EBC}=45^0+15^0=60^0\)

Xét ΔFBE có FB=FE và \(\hat{FBE}=60^0\)

nên ΔFBE đều

Answer 2

[Hà Minh Khôi]

Câu 1. Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) (\(A B < A C\)). Tia phân giác góc \(B\) cắt \(A C\) ở \(D\). Kẻ \(D H\) vuông góc với \(B C\). Trên tia \(A C\) lấy điểm \(E\) sao cho \(A E = A B\). Đường thẳng vuông góc với \(A E\) tại \(E\) cắt tia \(D H\) ở \(K\). Chứng minh rằng: a) \(B A = B H\) b) \(\angle D B K = 4 5^{\circ}\) c) Cho \(A B = 4\) cm, tính chu vi tam giác \(D E K\). Lời giải: a) Xét tam giác \(A B D\) và tam giác \(H B D\) có: \(& \angle B A D = \angle B H D = 9 0^{\circ} \\ & B D \&\text{nbsp};\text{chung} \\ & \angle A B D = \angle H B D \&\text{nbsp};(\text{do}\&\text{nbsp};\text{BD}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tia}\&\text{nbsp};\text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \angle A B C \left.\right)\) Suy ra \(\triangle A B D = \triangle H B D\) (cạnh huyền - góc nhọn). Do đó \(B A = B H\) (hai cạnh tương ứng). b) Vì \(\triangle A B D = \triangle H B D\) nên \(A D = H D\). Xét tam giác \(A D K\) và tam giác \(H D K\) có: \(& A D = H D \\ & \angle A D K = \angle H D K \\ & D K \&\text{nbsp};\text{chung}\) Suy ra \(\triangle A D K = \triangle H D K\) (c.g.c). Do đó \(\angle D A K = \angle D H K = 9 0^{\circ}\). Ta có: \(\angle D B H + \angle D B K = \angle H B K\). Mà \(\angle H B K = 4 5^{\circ}\) (do \(\triangle A B D = \triangle H B D\), suy ra \(\angle A B D = \angle H B D\)). Vậy \(\angle D B K = 4 5^{\circ}\). c) Vì \(\triangle A D K = \triangle H D K\) nên \(A K = H K\). Ta có \(A E = A B = B H\), suy ra \(E K = B C - B H - C E = B C - A E - C E = B C - A C\). Tam giác \(D E K\) có \(D E = D H\), \(E K = B C - A C\), \(D K\) chưa xác định. Do đó, không đủ dữ kiện để tính chu vi tam giác \(D E K\). Câu 2. Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) (\(A B < A C\)), trên cạnh \(A C\) lấy điểm \(E\) sao cho \(A E = A B\). Tia phân giác của \(\angle B A C\) cắt đường trung trực của \(C E\) tại \(F\). a) Chứng minh tam giác \(B F C\) cân. b) Biết góc \(\angle A C B = 3 0^{\circ}\). Chứng minh tam giác \(B F E\) đều. Lời giải: a) Gọi \(I\) là giao điểm của \(A F\) và \(B C\). Xét \(\triangle A B I\) và \(\triangle A E I\) có: \(& A B = A E \\ & \angle B A I = \angle E A I \&\text{nbsp};(\text{do}\&\text{nbsp};\text{AI}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tia}\&\text{nbsp};\text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \angle B A C \left.\right) \\ & A I \&\text{nbsp};\text{chung}\) Suy ra \(\triangle A B I = \triangle A E I\) (c.g.c). Do đó \(B I = E I\) và \(\angle A I B = \angle A I E\). Vì \(\angle A I B + \angle A I E = 18 0^{\circ}\) nên \(\angle A I B = \angle A I E = 9 0^{\circ}\). Suy ra \(A I \bot B C\). Vì \(F\) thuộc đường trung trực của \(C E\) nên \(F C = F E\). Ta có \(\triangle A B I = \triangle A E I\) nên \(\angle A B I = \angle A E I\). Suy ra \(\angle C B F = \angle C E F\). Xét \(\triangle C B F\) và \(\triangle C E F\) có: \(& C F \&\text{nbsp};\text{chung} \\ & \angle C B F = \angle C E F \\ & F C = F E\) Suy ra \(\triangle C B F = \triangle C E F\) (c.g.c). Do đó \(B C = E C\). Vậy tam giác \(B F C\) cân tại \(F\). b) Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) và \(\angle A C B = 3 0^{\circ}\) nên \(\angle A B C = 6 0^{\circ}\). Vì \(A I\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác \(B E C\) nên tam giác \(B E C\) cân tại \(E\). Suy ra \(\angle E B C = \angle E C B = 3 0^{\circ}\). Ta có \(\angle E B A = \angle A B C - \angle E B C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}\). Vì \(\triangle A B I = \triangle A E I\) nên \(\angle A E B = \angle A B E\). Suy ra \(\angle A E B = \angle A B E = 6 0^{\circ}\). Vậy tam giác \(A B E\) đều. Vì \(F E = F C\) và \(\triangle C B F = \triangle C E F\) nên \(B F = E F\). Suy ra \(\triangle B F E\) cân tại \(F\). Ta có \(\angle B F E = 18 0^{\circ} - 2 \angle F B E = 18 0^{\circ} - 2 \left(\right. \angle A B E - \angle A B C \left.\right) = 18 0^{\circ} - 2 \left(\right. 6 0^{\circ} - 3 0^{\circ} \left.\right) = 12 0^{\circ}\). Vậy tam giác \(B F E\) không đều. Câu 3. Cho tam giác \(A B C\) vuông cân tại \(A\), trên cạnh \(A B\) ta vẽ tam giác \(A B D\) vuông cân tại \(B\) như hình vẽ.

1. Gọi \(E\) là trung điểm của \(B D\). Đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(A E\) tại \(M\) cắt \(A B\) tại \(P\). Chứng minh: \(\triangle A B E = \triangle C A P\).
2. Từ \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(A E\) tại \(H\). a) Chứng minh: