Question

[Bùi Gia Hưng]

tiếp nè =v

Answer 1

[Phan Nghĩa]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=\frac{2}{2}=1\)

\(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{\frac{y2}{2y}}=2\)

Cộng theo vế 2 bất đẳng thức trên ta được :

\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3\)

\(< =>2\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\)

\(< =>x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge3+\frac{x+y}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(< =>\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)

được chưa ?

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM kết hợp giả thiết x + y ≥ 3 ta có :

\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{1}{2}y+\frac{2}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{1}{2}y\cdot\frac{2}{y}}+\frac{1}{2}\cdot3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}x=\frac{1}{2x}\\\frac{1}{2}y=\frac{2}{y}\\x+y=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)