Cho a, b, c > 0
CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2. \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ac}{ab}}=2c\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
SL
28 tháng 9 2015
Xét hiệu:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}=\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}+\frac{c-b}{a}\)
\(=\frac{ca.\left(a-c\right)}{abc}+\frac{ab.\left(b-a\right)}{abc}+\frac{bc.\left(c-b\right)}{abc}\)\(=\frac{a^2c-c^2a}{abc}+\frac{b^2a-a^2b}{abc}+\frac{c^2b-b^2c}{abc}\)
\(=\frac{a^2c-c^2a+b^2a-a^2b+c^2b-b^2c}{abc}\)\(=\frac{\left(a^2c-b^2c\right)+\left(-c^2a+c^2b\right)+\left(b^2a-a^2b\right)}{abc}\)
\(=\frac{c.\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^2.\left(a-b\right)-ab.\left(a-b\right)}{abc}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left[c.\left(a+b\right)-c^2-ab\right]}{abc}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(ac+bc-c^2-ab\right)}{abc}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left[\left(ac-c^2\right)+\left(bc-ab\right)\right]}{abc}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left[c.\left(a-c\right)-b.\left(a-c\right)\right]}{abc}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{abc}\)
ta thấy \(a\ge b\ge c>0\Rightarrow abc>0\)
\(a-b\ge0\left(a\ge b\right);a-c\ge0\left(a\ge b\ge c\right);c-b\le0\left(b\ge c\right)\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)\le0\)
\(\text{Suy ra: }\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)}{abc}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
có thể sai đề
T
21 tháng 4 2019
a)Chứng minh BĐT phụ sau: \(\frac{p^2}{m}+\frac{q^2}{n}\ge\frac{\left(p+q\right)^2}{m+n}\) (m,n>0) (*)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2n+q^2m}{mn}-\frac{p^2+2pq+q^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2n\left(m+n\right)+q^2m\left(m+n\right)-p^2mn-2pqmn-q^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(pq\right)^2-2.qp.mn+\left(qm\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(pn-qm\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi pn = qm.
Áp dụng BĐT (*) 2 lần,ta có: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
T
21 tháng 4 2019
b) Có cách này như mình không chắc:
Chuẩn hóa abc = 1.Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)
Ta có: \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}\ge2.\frac{z}{x}\) (Cô si)
\(\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge2.\frac{x}{y}\)
\(\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge2.\frac{y}{z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên,ta được:\(2\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
Suy ra \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{x^2}=\frac{z^2}{y^2}\\\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2}{z^2}\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{y^2}{x^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2}{z^2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}=\frac{x}{z}\Leftrightarrow a=b=c\)
T
14 tháng 11 2018
Áp dụng BĐT AM-GM,ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{bca}}=3\) (1)
\(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=2\)
\(\Leftrightarrow VP\ge3\) (2). Trừ theo vế (1) và (2),ta được: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{a+b}{b+c}-\frac{b+c}{c+a}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
K
1
21 tháng 10 2020
https://olm.vn/hoi-dap/detail/263385033080.html . Tham khảo Inequalities.
Đề sai khỏi làm
Đề bài hình như sai phải không '' WINTER '' nhỉ ?