Question

[Mafia]

cho đường tròn \(\left(O;R\right)\)và đường thẳng \(\left(\Delta\right)\)Ko có điểm chung với đường tròn \(\left(O\right)\), \(H\)là hình chiếu vuông góc của \(O\)trên \(\left(\Delta\right)\). Từ điểm \(M\)bất kì trên \(\left(\Delta\right)\)\(\left(M\ne H\right)\), vẽ 2 tiếp tuyến \(MA\)và \(MB\)tới đường tròn \(\left(O\right)\)( \(A,B\)là các tiếp điểm). Gọi \(K,I\)thứ tự là giao điểm của \(AB\)với \(OM,OH\)

a) CM  \(AB=2AK\)và 5 điểm \(M,A,O,B,H\)cùng \(\in\)đường tròn

b) CM \(OI.OH=OK.OM=R^2\)

c) trên đoạn \(OA\)lấy điểm \(N\)sao cho \(AN=2ON\). Đường trung trực của \(BN\)cắt \(OM\)ở \(E\). Tinh tỷ số \(\frac{OE}{OM}\)

P/S: mình làm được câu a, b rồi. CHỉ xin hướng dẫn câu c) thôi ạ 

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có tam giác MAB cân tại M có MK là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì K là trung điểm AB hay \(AK=\frac{AB}{2}\)

Ta thấy các tam giác MHO, MAO, MBO đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền MO nên M, H, A, O B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

b) Do K là trung điểm AB nên theo tính chất đường kính dây cung, ta có \(\widehat{IKO}=90^o\)

Suy ra \(\Delta IKO\sim\Delta MHO\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI.OH=OM.OK\)

Xét tam giác vuông MBO, đường cao BK, ta có: \(OK.OM=OB^2=R^2\)

Vậy nên \(OI.OH=OK.OM=R^2\)

c) Ta thấy do trung điểm của BN cắt OM tại E nên EN = EB

Lại có EB = EA vì OM là đường trung trực của AB

Suy ra EA = EN hay tam giác EAN cân tại E.

Gọi J là trung điểm AN.

Xét tam giác cân EAN có EJ là trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Vậy thì \(EJ\perp OA\) hay EJ // AM.

Xét tam giác OAM, áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{OE}{OM}=\frac{OF}{OA}=\frac{2}{3}\)