Question

[Lê Minh Anh]

Cho a > 2003; b > 2003 thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2003}\)

Từ đó hãy tính giá trị của biểu thức sau: \(A=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-2003}+\sqrt{b-2003}}\)

Answer 1

[Lê Minh Anh]

Mình đã tìm ra cách giải rồi, các bạn có thể góp ý để bài làm của mình hoàn thiện hơn nữa nha...

Ta có:\(\frac{1}{A}=\frac{\sqrt{a-2003}+\sqrt{b-2003}}{\sqrt{a+b}}=\frac{\sqrt{a-2003}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b-2003}}{\sqrt{a+b}}\)

 Mặt khác:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2003}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{2003}\Rightarrow2003=\)\(\frac{ab}{a+b} \left(1\right)\)

Thay (1) vào \(\frac{1}{A}\) ta được: \(\frac{1}{A}=\frac{\sqrt{a-\frac{ab}{a+b}}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{b-\frac{ab}{a+b}}}{\sqrt{a+b}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{A}=\sqrt{\frac{a-\frac{ab}{a+b}}{a+b}}+\sqrt{\frac{b-\frac{ab}{a+b}}{a+b}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{A}=\sqrt{\frac{\frac{a^2+ab-ab}{a+b}}{a+b}}+\sqrt{\frac{\frac{b^2+ab-ab}{a+b}}{a+b}}=\sqrt{\frac{a^2}{\left(a+b\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{\left(a+b\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{A}=\left|\frac{a}{a+b}\right|+\left|\frac{b}{a+b}\right|=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\left(a>2003;b>2003\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{A}=\frac{a+b}{a+b}=1\Leftrightarrow A=1\)

Vậy............................