Cho \(a\ge0,b\ge0\) thoả mãn \(a+2b+2ab^2=5\)
Tìm GTNN của \(P=a^3+2b^3+12\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2021
\(a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)
\(P=2\left(\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{b}{a}\right)-2=\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{7}{4}\left(\dfrac{a}{b}\right)-2\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{7}{4}.2-2=\dfrac{5}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\)
VD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 4 2021
\(2a\ge ab+4\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ge2\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge4\)
\(T=\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}=\dfrac{a}{8b}+\dfrac{2b}{a}+\dfrac{7}{8}.\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{2ab}{8ab}}+\dfrac{7}{8}.4=\dfrac{9}{2}\)
\(T_{min}=\dfrac{9}{2}\) khi \(\left(a;b\right)=\left(4;1\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2023
Lời giải:
Ta có:
$P^2=2+2(a+b)+2\sqrt{(1+2a)(1+2b)}=2+2+2\sqrt{1+2(a+b)+4ab}$
$=4+2\sqrt{3+4ab}$
Vì $a,b\geq 0$ nên $\sqrt{3+4ab}\geq \sqrt{3}$
$\Rightarrow P^2\geq 4+2\sqrt{3}$
$\Rightarrow P\geq \sqrt{3}+1$
Vậy $P_{\min}=\sqrt{3}+1$. Giá trị này được khi $(a,b)=(1,0)$ và hoán vị.
KN
1 tháng 3 2021
Theo giả thiết, ta có: \(2b-ab-4\ge0\Rightarrow2b\ge ab+4\ge4\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{\sqrt{ab}}\ge2\Rightarrow\frac{b}{a}\ge4\)
Xét \(\frac{1}{T}=\frac{ab}{a^2+2b^2}=\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}}=\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{16a}+\frac{31b}{16a}}\le\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{16}}+\frac{31}{16}.4}=\frac{4}{33}\)
\(\Rightarrow T\ge\frac{33}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1; b = 4
CY
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2019
\(VT=a^2+b^2+1-2ab+2a-2b+b^2-2b+1\)
\(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=1\end{matrix}\right.\)
TD
1
DT
6 tháng 2 2022
ta có:
\(a^5+b^5\ge a^3b^2+a^2b^3\)
\(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a^2-b^2\right)+b^3\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
Xét thấy:
\(a+b\ge0\)
\(\left(a^2-b^2\right)\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)
\(a^2-ab+b^2\ge0\) ( với mọi a;b thuộc R)
Vậy nên ...................