cho a+b+c=abc/ab+bc+ca cmr 1/a^3+1/b^3+1/c^3=1/a^3+b^3+c^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
6 tháng 7 2019
a) Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
VT
30 tháng 6 2018
Ta có A=\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
=\(2\left(a+b+c\right)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}=2\left(a+b+c\right)\)
VT
30 tháng 6 2018
\(A=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\left[\left(a+b\right)^2-2ab\right]+6a^2b^2=a^2-ab+b^2+3ab\left(1-2ab\right)+6a^2b^2\)
=\(\left(a+b\right)^2-3ab+3ab-6a^2b^2+6a^2b^2=1\)
2) Ta có \(A=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)
TP
0
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
Do \(abc=1\Rightarrow\) đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(VT=\dfrac{xz}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}=\dfrac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(xy\right)^2}{xyz\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xyz\left(y+z\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{3xyz\left(x+y+z\right)}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=1\)
LV
0
Giả thiết
\(a+b+c=\frac{a b c}{a b + b c + c a}\textrm{ }\Rightarrow\textrm{ }\left(\right.a+b+c\left.\right)\left(\right.ab+bc+ca\left.\right)=abc(\text{1})\)
Ta có
\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Xét vế trái
\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{b^{3} c^{3} + c^{3} a^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}}\)
Mà
\(b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3=\left(\right.abc\left.\right)\left(\right.ab+bc+ca\left.\right)\left(\right.a+b+c\left.\right)\)
dùng (1)
\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Suy ra
tử số \(= \left(\right. a b c \left.\right)^{2}\)
Vậy:
\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}=\frac{\left(\right. a b c \left.\right)^{2}}{\left(\right. a b c \left.\right)^{3}}=\frac{1}{a b c}(\text{2})\)
mặt khác
từ (1) ta có
\(a b c = \left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)
nên
\(\frac{1}{a b c}=\frac{1}{\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)}\)
mà
\(a^3+b^3+c^3=\left(\right.a+b+c\left.\right)\left(\right.a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\left.\right)\)
ta được
\(\frac{1}{a b c}=\frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
vậy
Đpcm
Bạn đưa ra đề bài như sau:
Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:
\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Trước tiên, mình hiểu đề bạn muốn nói là:
Cho \(a , b , c\) thỏa mãn:
\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)
Chứng minh:
\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Bước 1: Phân tích giả thiết
Giả thiết:
\(a + b + c = \frac{a b c}{a b + b c + c a}\)
Nhân hai vế với \(a b + b c + c a\), ta được:
\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Bước 2: Chúng ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Viết dưới dạng đồng mẫu:
\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Tức là:
\(\frac{b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}}\)
Suy ra:
\(\left(\right. b^{3} c^{3} + a^{3} c^{3} + a^{3} b^{3} \left.\right) \left(\right. a^{3} + b^{3} + c^{3} \left.\right) = a^{3} b^{3} c^{3}\)
Bước 3: Đặt
\(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\)
Ta cần chứng minh:
\(\left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) \left(\right. X + Y + Z \left.\right) = X Y Z\)
Bước 4: So sánh với giả thiết ban đầu
Ở giả thiết ban đầu, ta có:
\(\left(\right. a + b + c \left.\right) \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) = a b c\)
Nhưng ở đây, biến thành:
\(\left(\right. X + Y + Z \left.\right) \left(\right. X Y + Y Z + Z X \left.\right) = X Y Z\)
Với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\).
Bước 5: Kết luận
Như vậy, giả thiết ban đầu đúng với \(a , b , c\) thì với \(X = a^{3} , Y = b^{3} , Z = c^{3}\) cũng thỏa mãn giả thiết tương tự. Vậy công thức bạn muốn chứng minh là đúng dựa trên giả thiết cho trước.