Cho A=1/31+1/32+1/33+...+1/59+1/60.Chứng tỏ rằng: A<4/5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NH
3
Những câu hỏi liên quan
TT
2
15 tháng 7 2020
Đặt \(S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}\)
S có 30 số hạng.Nhóm thành ba nhóm, mỗi nhóm có 10 số hạng
\(S=\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}\right)\)
\(S< \left(\frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}\right)+\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right)\)
\(S< \frac{10}{30}+\frac{10}{40}+\frac{10}{50}\)
\(S< \frac{47}{60}< \frac{50}{60}=\frac{5}{6}\)(1)
\(S>\left(\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+...+\frac{1}{60}\right)\)
\(S>\frac{10}{40}+\frac{10}{50}+\frac{10}{60}\)
\(S>\frac{37}{60}>\frac{35}{60}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{7}{12}< S< \frac{5}{6}\)
hay \(\frac{7}{12}< \frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{59}+\frac{1}{60}< \frac{5}{6}\)
15 tháng 7 2020
Sửa cái phần đây nhá : \(S>\frac{37}{60}>\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\)
ND
0
AN
0
CM
0
AN
1
23 tháng 3 2017
S=0,684883282
3/5=0,6
4/5=0,8
tính S = tính bằng cách ấn ( máy tinh casio) shift + log
ND
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 6 2024
Lời giải:
$A=(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40})+(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50})+(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60})$
$> \frac{10}{40}+\frac{10}{50}+\frac{10}{60}=\frac{37}{60}> \frac{36}{60}=\frac{3}{5}(1)$
Lại có:
$A=(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40})+(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50})+(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60})$
$< \frac{10}{30}+\frac{10}{40}+\frac{10}{50}=\frac{47}{60}< \frac{48}{60}=\frac{4}{5}(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow$ ta có đpcm.
TS
0
Bước 1: Đếm số số hạng
Dãy số từ 31 đến 60 có:
\(60 - 31 + 1 = 30 \&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{h}ạ\text{ng}\)
Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng
Ta có bất đẳng thức sau với các số dương:
\(\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \hdots + \frac{1}{a_{n}} < n \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{a_{1} a_{2} \hdots a_{n}}}\)
Tuy nhiên, ở đây có thể ta chỉ cần dùng cách so sánh gần đúng.
Bước 3: Ước lượng gần đúng
Ta chia nhỏ khoảng để ước lượng:
\(\sum_{n = 31}^{40} \frac{1}{n} \approx 10 \cdot \frac{1}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7} \approx 0.2857\)
\(\sum_{n = 41}^{50} \frac{1}{n} \approx 10 \cdot \frac{1}{45} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} \approx 0.2222\)
\(\sum_{n = 51}^{60} \frac{1}{n} \approx 10 \cdot \frac{1}{55} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11} \approx 0.1818\)
Cộng lại:
\(A \approx 0.2857 + 0.2222 + 0.1818 = 0.6897\)
Rõ ràng:
\(A \approx 0.69 < \frac{4}{5} = 0.8\)
Kết luận:
\(\boxed{A < \frac{4}{5}}\)
ì hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x}\) là giảm, nên có bất đẳng thức sau:
\(\sum_{n = m}^{n} \frac{1}{n} < \int_{m - 1}^{n} \frac{1}{x} \textrm{ } d x\)
Áp dụng với \(m = 31\), \(n = 60\):
\(A = \sum_{k = 31}^{60} \frac{1}{k} < \int_{30}^{60} \frac{1}{x} \textrm{ } d x = ln 60 - ln 30 = ln \left(\right. \frac{60}{30} \left.\right) = ln 2 \approx 0.693\)
Vì:
\(ln 2 \approx 0.693 < 0.8 = \frac{4}{5}\)
nên:
\(A < ln 2 < \frac{4}{5}\)
✅ Kết luận:
\(\boxed{A = \sum_{k = 31}^{60} \frac{1}{k} < \frac{4}{5}}\)