Question

[Vũ Thị Hạnh]

C=2/2^1+3/2^2+4/2^3+...+2024/2^2023+2025/2^2024 so sánh C và 3

Answer 1

[Nguyễn Chí Hoàng]

Bước 1: Viết tổng dưới dạng tổng quát

Mỗi số hạng trong tổng có dạng:

\(\frac{n + 1}{2^{n}}\)

nên tổng có thể viết lại thành:

\(C = \sum_{n = 1}^{2024} \frac{n + 1}{2^{n}}\)

Bước 2: Xấp xỉ giá trị của C

Tổng này hội tụ và có thể so sánh với một tổng vô hạn quen thuộc:

\(S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} = 2\)

Dựa vào công thức tổng của dãy số hình học có trọng số, ta có:

\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n + 1}{2^{n}} = 3\)

Vì tổng của chúng ta chỉ chạy từ \(n = 1\) đến \(n = 2024\), nên \(C\) sẽ rất gần với 3 nhưng nhỏ hơn 3.

Bước 3: Kết luận

Do đó:

\(C < 3\)

Vậy ta kết luận:

\(C < 3\)