Bài 4. (2,5 điểm)
Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; R )$. Gọi $MA, MB$ là hai tiếp tuyến với đường tròn $(O )$ ($A$ và $B$ là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính $AD$ của $(O )$. Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$, $I$ là trung điểm của $BD$.
a) Chứng minh $OHBI$ là hình chữ nhật.
b) Cho biết $OI$ cắt $MB$ tại $K$. Chứng minh $KD$ là tiếp tuyến $(O)$.
c) Giả sử $OM=2R$. Tính chu vi $\Delta AKD$ theo $R$....
Đọc tiếp
Bài 4. (2,5 điểm)
Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; R )$. Gọi $MA, MB$ là hai tiếp tuyến với đường tròn $(O )$ ($A$ và $B$ là hai tiếp điểm). Kẻ đường kính $AD$ của $(O )$. Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$, $I$ là trung điểm của $BD$.
a) Chứng minh $OHBI$ là hình chữ nhật.
b) Cho biết $OI$ cắt $MB$ tại $K$. Chứng minh $KD$ là tiếp tuyến $(O)$.
c) Giả sử $OM=2R$. Tính chu vi $\Delta AKD$ theo $R$.
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của AB
=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét (O) có
ΔABD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó: ΔABD vuông tại B
Xét tứ giác OHBI có \(\widehat{OHB}=\widehat{OIB}=\widehat{HBI}=90^0\)
nên OHBI là hình chữ nhật
b: ΔOBD cân tại O
mà OI là đường cao
nên OI là phân giác của góc BOD
Xét ΔODK và ΔOBK có
OD=OB
\(\widehat{DOK}=\widehat{BOK}\)
OK chung
Do đó: ΔODK=ΔOBK
=>\(\widehat{ODK}=\widehat{OBK}\)
=>\(\widehat{ODK}=90^0\)
=>KD là tiếp tuyến của (O)
c: Xét ΔOBM vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OB^2\)
=>\(OH=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\)
ΔOHB vuông tại H
=>\(OH^2+BH^2=OB^2\)
=>\(BH=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{R}{2}\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
mà BH=OI
nên \(OI=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
ΔOBD cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của BD
Ta có: OH=BI
mà BI=ID(I là trung điểm của BD)
nên OH=DI
=>DI=R/2
Xét ΔODK vuông tại D có DI là đường cao
nên \(\dfrac{1}{DI^2}=\dfrac{1}{DO^2}+\dfrac{1}{DK^2}\)
=>\(\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{R}{2}\right)^2}-\dfrac{1}{R^2}=\dfrac{1}{\dfrac{R^2}{4}}-\dfrac{1}{R^2}=\dfrac{3}{R^2}\)
=>\(DK=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\)
ΔADK vuông tại D
=>\(DA^2+DK^2=AK^2\)
=>\(AK=\sqrt{\left(\dfrac{R\sqrt{3}}{3}\right)^2+\left(2R\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{39}}{3}\)
Chu vi tam giác ADK là:
AD+DK+AK
\(=2R+\dfrac{R\sqrt{3}}{3}+\dfrac{R\sqrt{39}}{3}=R\left(2+\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{3}\right)\)