Question

[Trần Nguyễn Thảo Nguyên]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AD.Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC.Lấy G là trung điểm AC,H là trung điểm DC.Chứng minh rằng
a,Tứ giác AEDF là hcn
b,Gọi I là giao điểm của EF và AD.Chứng minh rằng tứ giác IHCG là hình bình hành
c,Trên tia đối tia DE,lấy điểm K sao cho DK=AC.Chứng minh rằng CK song song AD
d,Chứng minh I là trực tâm của Tam giác HAB

Cứu tui đi

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

a) ∆ABC vuông tại A (gt)

⇒ AB ⊥ AC

⇒ ∠CAB = 90⁰

⇒ ∠EAF = 90⁰

Do E, F là hình chiếu của D lên AB, AC (gt)

⇒ ∠AED = ∠AFD = 90⁰

Tứ giác AEDF có:

∠EAF = ∠AED = ∠AFD = 90⁰ 

⇒ AEDF là hình chữ nhật

b) Do I là giao điểm của EF và AD (gt)

⇒ I là trung điểm của AD

Lại có:

H là trung điểm của DC (gt)

⇒ IH là đường trung bình của ∆ACD

⇒ IH // AC và IH = AC : 2

Do G là trung điểm của AC (gt)

⇒ CG = AC : 2

⇒ IH = CG = AC : 2

Do IH // AC (cmt)

⇒ IH // AG

Tứ giác IHCG có:

IH // CG (cmt)

IH = CG (cmt)

⇒ IHCG là hình bình hành

c) Do E là hình chiếu của D lên AB (gt)

⇒ DE ⊥ AB

Mà AC ⊥ AB (cmt)

⇒ DE // AC

⇒ DK // AC

Tứ giác ADKC có:

DK // AC (cmt)

DK = AC (gt)

⇒ ADKC là hình bình hành

⇒ CK // AD

d) Do IH // CG (cmt)

⇒ IH // AC

Mà AC ⊥ AB (cmt)

⇒ IH ⊥ AB

⇒ HI là đường cao của ∆HAB

Do AD là đường cao của ∆ABC (gt)

⇒ AD ⊥ BC

⇒ AD ⊥ BH

⇒ AD là đường cao của ∆HAB

∆HAB có:

HI là đường cao (cmt)

AD là đường cao thứ hai (cmt)

Mà I là giao điểm của HI và AD

⇒ I là giao điểm của ba đường cao của ∆HAB

⇒ I là trực tâm của ∆HAB