Question

[Đom Đóm]

Bài 1. Cho ΔABC nhọn, nội tiếp (O; R). 2 đường cao BE và CF lần lượt cắt đường tròn tại M và N, cắt nhau tại H.

a. C/m 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc 1 đường tròn.

b. C/m MN // EF.

c. C/m OA vuông góc EF.

d. Kẻ đường kính AK, gọi I là trung điểm BC. C/m H, I, K thẳng hàng và AH = 2OI.

e. C/m M đối xứng với H qua AC.

f. C/m AC² + BH² = 4R².

Bài 2. Cho 1 điểm A bất kì trên đường tròn đường kính BC. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E. Trên đường kéo dài của CE lấy EG = EC.

a. ΔEBC là tam giác gì? Vì sao?

b. Chứng minh GB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

c. C/m AD . DE = BD . DC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

\(\widehat{CNM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\)

mà \(\widehat{CBM}=\widehat{HFE}\)(BFEC nội tiếp)

nên \(\widehat{HFE}=\widehat{HNM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên FE//MN

c: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\left(=180^0-\widehat{FEC}\right)\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên EF//Ax

mà Ax\(\perp\)OA

nên OA\(\perp\)EF

d: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA\(\perp\)BK

mà CH\(\perp\)BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA\(\perp\)CK

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HK

=>H,I,K thẳng hàng

Xét ΔKAH có

I,O lần lượt là trung điểm của KH,KA

=>IO là đường trung bình của ΔKAH

=>AH=2IO

e: Xét (O) có

\(\widehat{MCA};\widehat{MBA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA

Do đó: \(\widehat{MCA}=\widehat{MBA}\)

mà \(\widehat{MBA}=\widehat{ACN}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)

nên \(\widehat{MCA}=\widehat{NCA}\)

=>CA là phân giác của góc CMN

Xét ΔCHM có

CA là đường cao

CA là đường phân giác

Do đó: ΔCHM cân tại C

ΔCHM cân tại C

mà CA là đường cao

nên CA là đường trung trực của HM

=>H đối xứng M qua AC

Bài 2: 

a: Xét (O) có

\(\widehat{BAE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

\(\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE

\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)(AE là phân giác của góc BAC)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BE}=sđ\stackrel\frown{CE}\)

=>EB=EC

=>ΔEBC cân tại E

b: EG=EC

=>E là trung điểm của GC

Xét ΔGBC có

BE là đường trung tuyến

\(BE=\dfrac{GC}{2}\)

Do đó: ΔGBC vuông tại B

=>GB\(\perp\)BC tại B

=>GB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

c: Xét (O) có

\(\widehat{BAE};\widehat{BCE}\) là các nội tiếp cùng chắn cung BE

Do đó: \(\widehat{BAE}=\widehat{BCE}\)

Xét ΔDAB và ΔDCE có

\(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)

\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDAB~ΔDCE

=>\(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}\)

=>\(DA\cdot DE=DB\cdot DC\)