Question

[lungdan]

4.1 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) , đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA

a) Chứng minh rằng tam giác ABD = tam giác EBD và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE .

b) Kẻ AK vuông góc BC (K thuộc BC). Chứng minh rằng AE là phân giác của góc KAC .

c) Gọi F là giao điểm của AK và BD. Qua Akẻ đường thẳng song song với BC, cắt EF tại G. Chứng minh rằng EF // AC và AE, BD, GC đồng quy.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE

b: ΔBAE có BA=BE

nên ΔBAE cân tại B

Ta có: \(\widehat{CAE}+\widehat{BAE}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{KAE}+\widehat{BEA}=90^0\)(ΔAKE vuông tại K)

mà \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)(ΔBAE cân tại B)

nên \(\widehat{CAE}=\widehat{KAE}\)

=>AE là phân giác của góc KAC

c: Xét ΔBAK vuông tại K và ΔBCA vuông tại A có

\(\widehat{ABK}\) chung

Do đó: ΔBAK~ΔBCA

=>\(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BK}{BA}\left(3\right)\)

Xét ΔBAK có BF là phân giác

nên \(\dfrac{BK}{BA}=\dfrac{KF}{FA}\left(4\right)\)

Ta có: ΔBAD=ΔBED
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)

=>\(\widehat{BED}=90^0\)

=>DE\(\perp\)BC

Xét ΔAKC có DE//AK

nên \(\dfrac{KE}{EC}=\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{KF}{FA}=\dfrac{KE}{EC}\)

=>FE//AC

Xét tứ giác AFED có

FE//AD

AF//DE

Do đó: AFED là hình bình hành

=>FD cắt AE tại trung điểm của mỗi đường

=>BD cắt AE tại trung điểm của AE(6)

Xét tứ giác AGEC có 

GE//AC

AG//EC
Do đó: AGEC là hình bình hành

=>AE cắt GC tại trung điểm của AE(7)

Từ (6),(7) suy ra BD,AE,GC đồng quy