cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy ba điểm phân biệt M,N,L . chứng minh rằng nếu LN//BC,MN//AB, LM //AC thì M,N,L lần lượt là trung điểm các cạnh của tam giác ABC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi D là giao điểm của IC và MN; E là giao điểm của IA và PN; F là giao điểm của IB và PM.
Ta có: Trong tam giác ABC, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác hay IM = IN = IP.
Xét tam giác vuông INC và tam giác vuông IMC:
IC chung;
IN = IM.
Vậy \(\Delta INC = \Delta IMC\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC}\)( 2 góc tương ứng).
Tương tự: \(\Delta IPA = \Delta INA\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIA} = \widehat {NIA}\)( 2 góc tương ứng).
\(\Delta IPB = \Delta IMB\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên \(\widehat {PIB} = \widehat {MIB}\)( 2 góc tương ứng).
Xét hai tam giác IDN và IDM có:
ID chung;
\(\widehat {NID} = \widehat {MID}\);
IN = IM.
Vậy \(\Delta IDN = \Delta IDM\)(c.g.c)
\(\Rightarrow DN = DM\) ( 2 cạnh tương ứng);
\(\widehat {IDN} = \widehat {IDM}\) ( 2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat {IDN} + \widehat {IDM}=180^0\) ( 2 góc kề bù)
\(\Rightarrow \widehat {IDN} = \widehat {IDM}= 180^0:2=90^0\).
Suy ra: IC là đường trung trực của cạnh MN.
Tương tự ta có:
IA là đường trung trực của cạnh PN; IB là đường trung trực của cạnh PM.
Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được
MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.
Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M ≠ B, M ≠ C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.
Gọi E là giao điểm các đường trung trực của MN và BC.
Theo tính chất đường trung trực ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EM=EN\\EB=EC\end{matrix}\right.\).
Lại có BM = CN (gt) nên \(\Delta EMB=\Delta ENC(c.c.c)\).
Suy ra \(\widehat{EMB}=\widehat{ENC}\) nên \(\widehat{EMA}=\widehat{END}\).
Lại có BM = CN và AB = CD nên AM = ND.
Xét \(\Delta EMA\) và \(\Delta END\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=ND\\\widehat{EMA}=\widehat{END}\\EM=EN\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta EMA=\Delta END\left(c.g.c\right)\Rightarrow EM=EN\).
Suy ra E thuộc đường trung trực của MN.
Vậy đường trung trực của ba đoạn AD, MN, BC đồng quy.
a, C/m CP // AB
Xét ΔANM và ΔCNP. Ta có:
NM = NP (gt)
∠N1 = ∠N2 (đối đỉnh)
NA = NC (gt)
⇒ ΔANM = ΔCNP (c.g.c)
Nên: ∠A = ∠C1 (hai góc tương ứng)
Mà ∠A và ∠C1 ở vị trí so le trong
⇒ CP // AB
b, C/m MB = CP
Ta có: MA = CP (vì ΔANM = ΔCNP)
Mà MA = MB (gt)
⇒ MB = CP
c, C/m BC = 2MN
Nối BP. Xét ΔMBP và ΔCPB. Ta có:
BM = CP (gt)
∠B1 = ∠P1 (so le trong)
BP cạnh chung
⇒ ΔMBP = ΔCPB (c.g.c)
Nên: MP = BC (hai cạnh tương ứng)
Mà: MP = 2MN (vì N là trung điểm của MP)
⇒ BC = 2MN
Tham khảo:
Theo giả thiết ta có :
OA = OB, MA = MB ( do M là trung điểm AB )
\( \Rightarrow \) MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB
\( \Rightarrow \) MO vuông góc với AB
Theo giả thiết ta có :
OA = OC, PC = PA ( do P là trung điểm AC )
\( \Rightarrow \) PO là đường trung trực của đoạn thẳng AC
\( \Rightarrow \) PO vuông góc với AC
Theo giả thiết ta có :
OC = OB, NC = NB ( do N là trung điểm BC )
\( \Rightarrow \) NO là đường trung trực của đoạn thẳng BC
\( \Rightarrow \) NO vuông góc với BC