Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu của S lên mặt (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết SA = \(2\sqrt{3}a\) và đường thẳng SC tạo với đáy một góc là 30 độ. Khoảng cách giữa SM và BD là
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), có \(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)
b) \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}\)
\(SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)\)
c) \(A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow A{\rm{D}} \bot SB\)
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\)\( \Rightarrow SA \bot SB\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), có \(M\) là trung điểm của \(AB\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SM \bot AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow SM \bot \left( {ABCD} \right)\)
b) \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AB \bot A{\rm{D}}\)
\(SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot A{\rm{D}}\)
\( \Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)\)
c) \(A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow A{\rm{D}} \bot SB\)
Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\)\( \Rightarrow SA \bot SB\)
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
Do CM là trung tuyến của SAC nên M là trung điểm SA.
\(\dfrac{V_{SMBC}}{V_{SABC}}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{2}\)
Ta có \(AC=\sqrt{AB^2+AC^2}=a\sqrt{2}\) nên \(AH=\dfrac{1}{4}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
Suy ra \(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{2a^2}{16}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}\)
Do đó \(V_{SABC}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{14}}{4}.\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{14}}{24}\)
Vậy \(V_{SMBC}=\dfrac{1}{2}V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{14}}{48}\)
Đáp án D.
Phương pháp:
- Xác định chân đường cao của đỉnh S đến mặt phẳng đáy.
- Tính thể tích khối chóp: V = 1 3 S h
Cách giải:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân tại S nên S I ⊥ A B , S J ⊥ C D
Mà A B / / C D ⇒ A B , C D ⊥ S IJ
Dựng S H ⊥ I J , H ∈ I J ⇒ S H ⊥ A B C D (do S H ⊥ I J và S H ⊂ SIJ ⊥ C D )
Trong (ABCD), kẻ
B M ⊥ A H , M ∈ C D , A H ∩ B M = T .
Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.
+) Δ S A B đều, cạnh a ⇒ S I = a 3 2
+) Δ S C D vuông cân tại S,
C D = a ⇒ S J = C D 2 = a 2
+) ABCD là hình vuông cạnh a
⇒ IJ = a
Tam giac SIJ có:
IJ 2 = S I 2 + S J 2 ⇒ Δ S I J vuông tại S.
Mà
S H ⊥ IJ ⇒ SI 2 = I H . IJ ⇒ a 3 2 2 = I H . a ⇒ I H = 3 a 4
Và
1 S H 2 = 1 S I 2 + 1 S J 2 = 1 a 3 2 2 + 1 a 2 2 = 16 3 a 2 ⇒ S H = a 3 4
Dễ dàng chứng minh Δ A I H đồng dạng tam giác
Δ B C M ⇒ S A I H S B M C = A I B C 2 = 1 4 ⇒ S B C M = 4 S A I H = 4. 1 2 . a 2 . 3 a 4 = 3 a 2 4
S B D M = S B C M − S B C D = 3 4 a 2 − 1 2 a 2 = a 2 4
Thể tích khối chóp S.BDM:
V S . B D M = 1 3 . S H . S B D M = 1 3 . a 3 4 . a 2 4 = 3 a 3 48
Hệ thức lượng: \(SA^2=AH.AD=\dfrac{3}{4}AD^2\)
\(\Rightarrow AD=4a\) \(\Rightarrow AH=3a\) ; \(HD=a\)
\(\Rightarrow SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=a\sqrt{3}\)
\(HC=\dfrac{SH}{tan30^0}=3a\) \(\Rightarrow CD=\sqrt[]{HC^2-HD^2}=2a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}CD=a\sqrt{2}\)
Qua M kẻ đường thẳng song song BD cắt AD tại F.
Từ H kẻ \(HE\perp MF\), từ H kẻ \(HK\perp SF\)
\(\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SME\right)\right)\)
MF là đường trung bình tam giác ABD \(\Rightarrow AD=FD=\dfrac{1}{2}AD=2a\Rightarrow HF=a\)
\(HE=HF.sin\widehat{EFH}=HF.sin\widehat{AFM}=HF.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AF^2}}=\)
\(\Rightarrow HK=\dfrac{HE.SH}{\sqrt{HE^2+SH^2}}=\)
\(DE=2HE\Rightarrow d\left(SM;BD\right)=d\left(D;\left(SME\right)\right)=2HK=\)