Cho tam giác MNP nhọn, MN<MP. Các đường cao MD, NE, PF của tam giác
MNP cắt nhau tại H.
a) Chứng minh
EHP
đồng dạng với
FHN
b) Chứng minh ME.MP = MF.MN và
MEF
đồng dạng với
MNP
c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng EF với đường thẳng NP.Chứng minh rằng :tia FP là
tia phân giác của góc EFD và FNlà tia phân giác của góc KFD
a: Xét ΔEHP vuông tại E và ΔFHN vuông tại F có
\(\widehat{EHP}=\widehat{FHN}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔEHP~ΔFHN
b: Xét ΔMEN vuông tại E và ΔMFP vuông tại F có
\(\widehat{EMN}\) chung
Do đó: ΔMEN~ΔMFP
=>\(\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{MN}{MP}\)
=>\(\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{MF}{MP}\)
=>\(ME\cdot MP=MF\cdot MN\)
Xét ΔMEF và ΔMNP có
\(\dfrac{ME}{MN}=\dfrac{MF}{MP}\)
\(\widehat{EMF}\) chung
Do đó: ΔMEF~ΔMNP
c: Xét tứ giác MFHE có \(\widehat{MFH}+\widehat{MEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên MFHE là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác NFHD có \(\widehat{NFH}+\widehat{NDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên NFHD là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EMH}\)(MFHE nội tiếp)
\(\widehat{DFH}=\widehat{DNH}\)(NFHD nội tiếp)
mà \(\widehat{EMH}=\widehat{DNH}\left(=90^0-\widehat{MPD}\right)\)
nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)
=>FH là phân giác của góc EFD
Vì FH\(\perp\)FN và FH là phân giác của góc EFD và \(\widehat{EFD};\widehat{DFK}\) là hai góc kề bù
nên FN là phân giác của góc DFK