Question

[Nguyễn Mai Hoa]

Cho góc bẹt xOy có tia phân giác Ot . Trên tia Ot lấy 2 điểm A ,B (A  nằm giữa O và B )  . Lấy điểm C thuộc Ox sao cho  OC=OB , lấy điểm D thuộc Oy sao cho  OD=OA  

a) chứng minh AC=BD và AC vuông góc với BD 
b) gọi  M .N lần lượt là trung điểm của AC và BD . chứng minh ON =OM

c) tính các góc của tam giác MON

d) chứng minh AD vuông góc với BC

2) cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Vẽ AH vuông góc với AB tại I, vẽ HK vuông góc với AC tại K  .Lấy E,F sao cho  I là trung điểm của HE ,K là trung điểm của HF ,EF cắt AB ,AC lần lượt tại M,N 

a) chứng minh MH =ME và chu vi tam giác MHN bằng EF

b) chứng minh AE =AF

c) nếu biết góc BAC =60 độ , Khi đó hãy tính các góc của tam giác AEF

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Bài 1:

a: Ta có: Ot là phân giác của góc xOy

=>\(\widehat{xOt}=\widehat{yOt}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>BO\(\perp\)DC

Xét ΔOAC vuông tại A và ΔODB vuông tại D có

OA=OD

OC=OB

Do đó: ΔOAC=ΔODB

=>AC=DB(1)

Ta có: ΔOAC=ΔODB

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{ODB}\)

mà \(\widehat{OAC}+\widehat{OCA}=90^0\)

nên \(\widehat{ODB}+\widehat{OCA}=90^0\)

=>CA\(\perp\)BD

b: Ta có;ΔOAC vuông tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên \(OM=\dfrac{AC}{2}\)(3)

=>OM=MA=MC

Ta có: ΔOBD vuông tại O

mà ON là đường trung tuyến

nên \(ON=\dfrac{BD}{2}\)(2)

=>ON=NB=ND

Từ (1),(2),(3) suy ra OM=ON

c: NB=NO nên \(\widehat{NBO}=\widehat{NOB}\)

MA=MO

nên \(\widehat{MAO}=\widehat{MOA}\)

\(\widehat{NOM}=\widehat{NOA}+\widehat{MOA}\)

\(=\widehat{NBO}+\widehat{MAO}=\widehat{DBO}+\widehat{CAO}\)

\(=\widehat{DBO}+\widehat{ODB}=90^0\)

=>ΔNOM vuông cân tại O

=>\(\widehat{ONM}=\widehat{OMN}=45^0\)

d: Xét ΔBDC có

CA,BO là các đường cao

CA cắt BO tại A

Do đó: A là trực tâm của ΔBDC
=>DA\(\perp\)BC