cho a + b + c =1
CMR : \(\sqrt{a+b}\)+ \(\sqrt{b+c}\)+ \(\sqrt{a+c}\) < \(\sqrt{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 1 2023
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
T
7 tháng 9 2019
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
22 tháng 3 2020
Ta có: \(4b\sqrt{c}-c\sqrt{a}=\sqrt{c}\left(4b-\sqrt{ac}\right)>0\)( do \(1< a,b,c< 2\))
Tương tự => Các MS dương
\(VT=\frac{ba}{4b\sqrt{ac}-ca}+\frac{cb}{4c\sqrt{ba}-ab}+\frac{ac}{4a\sqrt{bc}-bc}\)
Áp dụng BĐT cosi schawr ta có
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}{4b\sqrt{ac}+4c\sqrt{ab}+4a\sqrt{bc}-ab-bc-ac}\)
Áp dụng cosi ta có \(2b\sqrt{ac}=2\sqrt{ab}.\sqrt{ac}\le ab+ac\);\(2c\sqrt{ab}\le ac+bc\);\(2a\sqrt{bc}\le ab+ac\)
=> \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2}{ab+bc+ac+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}}=\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}=1\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
26 tháng 2 2017
a) Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có: \(\sqrt{a+1}=\sqrt{1.\left(a+1\right)}\le\frac{1+a+1}{2}=\frac{a}{2}+1\)
Tương tự: \(\sqrt{b+1}\le\frac{b}{2}+1\)
\(\sqrt{c+1}\le\frac{c}{2}+1\)
Cộng vế với vế ta được: \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\frac{a+b+c}{2}+3=3,5\)
Dấu "='' xảy ra khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1
<=> a = b = c = 0, mâu thuẫn với đề: a + b + c = 1
Do đó \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}< 3,5\left(đpcm\right)\)
26 tháng 2 2017
b) Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz cho bộ 3 số dương ta có:
\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\)\(\left[\left(\sqrt{a+b}\right)^2+\left(\sqrt{b+c}\right)^2+\left(\sqrt{c+a}\right)^2\right]\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le3.2.\left(a+b+c\right)=6.1=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\left(đpcm\right)\)
G
21 tháng 7 2019
\(\sqrt{a+c}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+c}+\sqrt{b}< \sqrt{b+c}+\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b}\right)^2< \left(\sqrt{b+c}+\sqrt{a}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab+bc}< a+b+c+2\sqrt{ab+ac}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab+bc}< 2\sqrt{ab+ac}\Leftrightarrow\sqrt{ab+bc}< \sqrt{ab+ac}\)(đúng vs a>b) .Vậy bđt cần cm đúng
P
6 tháng 9 2018
a) Áp dụng bdt cosi schwars ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{2}\)
13 tháng 9 2017
ta có \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
chứng minh tương tự ta cũng có
\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)};c+a\le\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)
cộng các vế của các bdt lại , rồi bạn đưa \(\sqrt{2}\)ra ngoài, bạn sẽ có dpcm
( phần chứng minh \(< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)bạn tự chứng minh nhá) :))
bình phương hai vế