Question

[Thầy Đức Anh]

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $B$, phân giác $A D$. Kẻ $D E \perp A C(E \in A C)$.

Chứng minh:

a) $\Delta B A D=\Delta E A D$.

b) $A D$ là trung trực của $B E$.

c) Trên tia đối của tia $B A$ lấy điểm $K$ sao cho $B K=C E$. Chứng minh ba điểm $E, D, K$ thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a Xét ΔBAD vuông tại A và ΔEAD vuông tại E có

AD chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{EAD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔEAD

b: Ta có: ΔABD=ΔAED
=>AB=AE và DB=DE

Ta có: AB=AE
=>A nằm trên đường trung trực của BE(1)

Ta có: DB=DE

=>D nằm trên đường trung trực của BE(2)

Từ (1),(2) suy ra AD là đường trung trực của BE

c: Xét ΔDBK vuông tại B và ΔDEC vuông tại E có

DB=DE

BK=EC

Do đó: ΔDBK=ΔDEC

=>\(\widehat{BDK}=\widehat{EDC}\)

mà \(\widehat{EDC}+\widehat{BDE}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{BDE}+\widehat{BDK}=180^0\)

=>E,D,K thẳng hàng

Answer 2

[Nguyễn Bích Ngọc]

a) Xét $\Delta BAD$ và $\Delta EAD$:

      $\widehat{ABD}=\widehat{AED}=90^{\circ }$.

      $AD$ chung.

      $\widehat{BAD}=\widehat{EAD}(gt)$.

Suy ra $\Delta BAD=\Delta EAD$ { (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do $\Delta BAD=\Delta EAD$ (câu a) nên + ) $AB=AE$ (Cặp cạnh tương ứng)

$A$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $BE$ (1)

+) $DB=DE$ (Cặp cạnh tương ứng)

$D$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $BE$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $AD$ là đường trung trực của $BE$.

c) Xét $\Delta BDK$ và $\Delta EDC$:

      $\widehat{KBD}=\widehat{CED}$.

      $BK=CE$ (gt).

      $BD=DE$.

Suy ra $\Delta BDK=\Delta EDC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat{BDK}=\widehat{EDC}$ (Cặp góc tương ứng) (1)

Mặt khác ta có $D$ thuộc cạnh $BC$ nên $\widehat{EDC}+\widehat{EDB}=180^{\circ }$. (2)

v

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BDK}+\widehat{EDB}=180^{\circ }$.

Hay ba điểm $E,D,K$ thẳng hàng.