Question

[Người Bí Ẩn]

1) Một chiếc máy bay xuất phát từ vị trí A bay lên theo đường thẳng tạo với phương ngang một góc \(20^0\) ( xem hình bên dưới). Nếu máy bay chuyển động theo hướng đó đi được 12 km đến vị trí B thì khi đó máy bay sẽ ở độ cao bao nhiêu km so với mặt đất (BH là đọ cao)? (làm tròn đến hàng đơn vị).                                                                                                         2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D ( tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO; K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O).                                                                                            a) Cm 4 điểm O,B,D,F cùng thuộc một đường tròn.                                                        b) Cm DH.DO=DK.DC                                                                                                    c) Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với BC đường thẳng này cắt AD tại M. Cm \(\dfrac{BD}{DM}-\dfrac{DM}{AM}=1\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

Trong tam giác vuông ABH:

\(BH=AB.sinA=12.sin20^0=4,1\left(km\right)\)

2.

a.

Do D là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và F \(\Rightarrow\widehat{DBO}=\widehat{DFO}=90^0\)

\(\Rightarrow\) B và F cùng nhìn OD dưới 1 góc vuông nên 4 điểm O, B, D, F cùng thuộc 1 đường tròn

b.

Do \(DB=DF\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(OB=OF=R\)

\(\Rightarrow OD\) là trung trực của BF \(\Rightarrow OD\perp BF\) tại H và H là trung điểm BF

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD:

\(DB^2=DH.DO\) (1)

BC là đường kính \(\Rightarrow\widehat{BKC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CBD:

\(DB^2=DK.DC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow DH.DO=DK.DC\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

2c.

Theo gt MO và DB cùng vuông góc BC \(\Rightarrow MO||DB\)

\(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{BDO}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat{BDO}=\widehat{MDO}\) (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow\widehat{MDO}=\widehat{MOD}\Rightarrow\Delta MDO\) cân tại M

\(\Rightarrow MO=DM\)

Áp dụng định lý Thales trong tam giác ABD:

\(\dfrac{MO}{BD}=\dfrac{AM}{AD}\Rightarrow\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{AM}{AD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DM}=\dfrac{AD}{AM}=\dfrac{AM+DM}{AM}=1+\dfrac{DM}{AM}\)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DM}-\dfrac{DM}{AM}=1\)