Question

[Người Bí Ẩn]

1) Ở một cái thang dài 3m có ghi "để đảm bảo an toàn" cần đặt thang sao cho tạo với mặt đất một góc \(\alpha\) thì phải thoả mãn \(60^0\)< \(\alpha\) < \(75^0\). Vậy phải đặt thang cách vật thang dựa khoảng bao nhiêu để đảm bảo an toàn?                            2) Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B,C,M,N thuộc đường tròn, AM < AN, tia AM nằm giữa hai tia AO và AB). Gọi D là trung điểm của MN. AO và BC cắt nhau tại H, CD kéo dài cắt (O) tại E.                                                   a) Cm 4 điểm A,B,O,C cùng nằm trên một đường tròn.                                       b) Cmr: OH.OA = \(R^2\) và BE // MN.                                                                       c) MH cắt đường tròn (O) tại P, hai đường thẳng BN và CP cắt nhau tại K. Cm hai tam giác MBC, DNC đồng dạng và ba điểm A,O,K thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

2.

a.

Do AB, AC là tiếp tuyến \(\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)

\(\Rightarrow B,C\) cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OA

b.

Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau: \(AB=AC\)

Đồng thời \(OB=OC=R\) nên OA là trung trực của BC

\(\Rightarrow OA\perp BC\) tại H và H là trung điểm BC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB với đường cao BH:

\(OB^2=OH.OA\Rightarrow R^2=OH.OA\)

D là trung điểm MN \(\Rightarrow OD\perp MN\)

\(\Rightarrow\widehat{ODA}=90^0\Rightarrow D\) thuộc đường tròn đường kính OA

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn BD)

Mà \(\widehat{BCD}=\widehat{EBx}\) (cùng chắn BE)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{EBx}\Rightarrow BE||MN\) (2 góc đồng vị bằng nhau)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

c.

Do BE song song MN (cmt) \(\Rightarrow sđ\stackrel\frown{EN}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

\(\Rightarrow\widehat{NCE}=\widehat{BCM}\) (2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau)

Xét 2 tam giác MBC và DNC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{MBC}=\widehat{DNC}\left(\text{cùng chắn MC}\right)\\\widehat{BCM}=\widehat{NCE}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta MBC\sim\Delta DNC\left(g.g\right)\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB: \(AB^2=AH.AO\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\) (cùng chắn BM) và góc \(\widehat{BAM}\) chung \(\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ANB\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow AB^2=AN.AM\Rightarrow AH.AO=AN.AM\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AO}\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta ANO\)

\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ANO}\Rightarrow\widehat{ANO}+\widehat{OHM}=180^0\)

\(\Rightarrow OHMN\) nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{NMO}\)

Mà \(ON=OM=R\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{MNO}\)

\(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{MNO}=\widehat{AHM}\)

\(\Rightarrow\widehat{BHN}=\widehat{BHM}\)

Mà \(\widehat{BHM}=\widehat{CHP}\) (đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{BHN}=\widehat{CHP}\)

\(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{PHO}\Rightarrow NH=PH\)

\(\Rightarrow\Delta NHB=\Delta PHC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NBH}=\widehat{PCH}\Rightarrow\Delta KBC\) cân tại K

\(\Rightarrow KH\) là trung tuyến đồng thời là đường cao \(\Rightarrow KH\perp BC\) tại H

\(\Rightarrow A,O,K\) thẳng hàng