Cho 3 số thực dương x, y, z thoả mã điều kiện:\(x^2\ge y^2+z^2\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\dfrac{1}{x^2}\left(y^2+z^2\right)\)\(+x^2\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2019\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2022
Lời giải:
Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$
$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$
$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)
$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)
Vậy $P_{\min}=2022$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 2 2022
Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)
Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)
\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)
N
24 tháng 4 2017
ta có:\(P=\sum\dfrac{y^2z^2}{x\left(y^2+z^2\right)}=\sum\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}\)
đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\)thì giả thiết trở thành : \(a^2+b^2+c^2=1\).tìm Min \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{a^2+c^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)
ta có:\(\dfrac{a}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{1-a^2}=\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy:
\(\left[a\left(1-a^2\right)\right]^2=\dfrac{1}{2}.2a^2\left(1-a^2\right)\left(1-a^2\right)\le\dfrac{1}{54}\left(2a^2+1-a^2+1-a^2\right)^3=\dfrac{4}{27}\)
\(\Rightarrow a\left(1-a^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a\left(1-a^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\)
tương tự với các phân thức còn lại ta có:
\(P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
HN
24 tháng 4 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=a\\\dfrac{1}{y}=b\\\dfrac{1}{z}=c\end{matrix}\right.\) Thì bài toán trở thành
Cho \(a^2+b^2+c^2=1\) tính GTNN của \(P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=1-c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}=\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\)
Mà ta có: \(2c^2\left(1-c^2\right)\left(1-c^2\right)\le\dfrac{\left(2c^2+1-c^2+1-c^2\right)^3}{27}=\dfrac{8}{27}\)
\(\Rightarrow c\left(1-c^2\right)\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{c^2}{c\left(1-c^2\right)}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}c^2}{2}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{c^2+a^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}b^2}{2}\left(2\right)\\\dfrac{a}{b^2+c^2}\ge\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 3 2019
Lời giải:
Xét hiệu:
\(\frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}-\left(\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\right)\)
\(=\frac{x^4-y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4-z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4-x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\)
\(=x-y+y-z+z-x=0\)
\(\Rightarrow \frac{x^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4}{(z^2+x^2)(z+x)}=\frac{y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\)
Do đó:
\(2F=\frac{x^4+y^4}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{y^4+z^4}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{z^4+x^4}{(z^2+x^2)(z+x)}\)
\(\geq \frac{\frac{(x^2+y^2)^2}{2}}{(x^2+y^2)(x+y)}+\frac{\frac{(y^2+z^2)^2}{2}}{(y^2+z^2)(y+z)}+\frac{\frac{(z^2+x^2)^2}{2}}{(z^2+x^2)(z+x)}\) (áp dụng BĐT Cauchy)
hay \(2F\geq \frac{x^2+y^2}{2(x+y)}+\frac{y^2+z^2}{2(y+z)}+\frac{z^2+x^2}{2(z+x)}\)
Mà cũng theo BĐT Cauchy thì:
\(\frac{x^2+y^2}{2(x+y)}+\frac{y^2+z^2}{2(y+z)}+\frac{z^2+x^2}{2(z+x)}\geq \frac{\frac{(x+y)^2}{2}}{2(x+y)}+\frac{\frac{(y+z)^2}{2}}{2(y+z)}+\frac{\frac{(z+x)^2}{2}}{2(x+z)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2F\geq \frac{1}{2}\Rightarrow F\geq \frac{1}{4}\)
Vậy \(F_{\min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
MH
22 tháng 11 2023
Ta có:
\(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\)
\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
Tương tự:
\(\left\{{}\begin{matrix}y^2+1=\left(y+z\right)\left(y+x\right)\\z^2+1=\left(z+y\right)\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(A=x\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+y\sqrt{\dfrac{\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{\left(z+x\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
TH1: x,y,z <0
\(A=-x\left(y+z\right)-y\left(z+x\right)-z\left(x+y\right)=-2\)
TH2: x,y,z>0
\(A=x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)=2\)
22 tháng 11 2023
Ta có \(1+z^2=xy+yz+zx+z^2\)
\(=y\left(x+z\right)+z\left(x+z\right)\)
\(=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
CMTT, \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\) và \(1+y^2=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Do đó \(\sqrt{\dfrac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\) \(=\sqrt{\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
\(=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\) \(=\left|y+z\right|\)
Tương tự như thế, ta được
\(A=x\left|y+z\right|+y\left|z+x\right|+z\left|x+y\right|\)
Cái này không tính ra số cụ thể được nhé bạn. Nó còn phải tùy vào dấu của \(x+y,y+z,z+x\) nữa.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 1 2022
Lời giải:
\(A=\left(\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}\right)\left(\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}+\frac{1}{x-y}\right)-\frac{x}{(y-z)(z-x)}-\frac{x}{(y-z)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(x-y)}-\frac{y}{(z-x)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(y-z)}-\frac{z}{(x-y)(z-x)}\)
\(=0-\frac{x(x-y)+x(z-x)+y(y-z)+y(x-y)+z(z-x)+z(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)}\)
\(=0-\frac{x^2+xz+y^2+xy+z^2+zy-(xy+x^2+yz+y^2+zx+z^2)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0-\frac{0}{(x-y)(y-z)(z-x)}=0\)
\(x^2\ge y^2+z^2\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2+z^2}\ge1\)
\(P=\dfrac{y^2+z^2}{x^2}+x^2\left(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)+2019\ge\dfrac{y^2+z^2}{x^2}+x^2.\dfrac{4}{y^2+z^2}+2019\)
\(P\ge\dfrac{y^2+z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2+z^2}+3\dfrac{x^2}{y^2+z^2}+2019\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{x^2}.\dfrac{x^2}{y^2+z^2}}+3.1+2019=2024\)
\(P_{min}=2024\) khi \(x^2=2y^2=2z^2\)