Cho a,b,c nguyên dương phân biệt, chứng minh (a+b+c)(ab+ac+bc-2)>=9abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 10 2019
Bai này quen quen ! Mình còn ghi trong vở nè !
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)+\frac{9abc}{a+b+c}\ge4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ac\right)\left(đpcm\right)\)
LG
0
N
0
8 tháng 9 2019
Biến đổi :
\(VT=\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ca}=\frac{a}{b\left(a+b^2\right)}+\frac{b}{c\left(b+c^2\right)}+\frac{c}{a\left(c+a^2\right)}\)
\(=\frac{1}{b}\cdot\frac{a}{a+b^2}+\frac{1}{c}\cdot\frac{b}{b+c^2}+\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{c+a^2}\)
\(=\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b^2}{a+b^2}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c^2}{b+c^2}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a^2}{c+a^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(VT\ge\frac{1}{b}\cdot\left(1-\frac{b^2}{2b\sqrt{a}}\right)+\frac{1}{c}\cdot\left(1-\frac{c^2}{2c\sqrt{b}}\right)+\frac{1}{a}\cdot\left(1-\frac{a^2}{2a\sqrt{c}}\right)\)
\(=\frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{a}-\frac{1}{2\sqrt{c}}\)
\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)
Áp dụng BĐT quen thuộc : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) và BĐT Cô-si ta có:
\(VT\ge\frac{9}{a+b+c}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{1}{a}+1}{2}+\frac{\frac{1}{b}+1}{2}+\frac{\frac{1}{c}+1}{2}\right)\)
\(=\frac{9}{3}-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+3}{2}\right)\ge3-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{9}{a+b+c}+3}{2}\right)\)
\(=3-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\frac{9}{3}+3}{2}\right)=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 12 2018
Lời giải:
\(a+b+c+\frac{9abc}{ab+bc+ac}\geq 4\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)+9abc\geq 4(ab+bc+ac)\left(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)+9abc\geq \frac{4a^2b^2}{a+b}+4abc+\frac{4b^2c^2}{b+c}+4abc+\frac{4a^2c^2}{a+c}+4abc\)
\(\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\geq \frac{4a^2b^2}{a+b}+\frac{4b^2c^2}{b+c}+\frac{4a^2c^2}{a+c}(*)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(4ab\leq (a+b)^2\Rightarrow \frac{4a^2b^2}{a+b}\leq \frac{ab(a+b)^2}{a+b}=ab(a+b)\)
TT: \(\frac{4b^2c^2}{b+c}\leq bc(b+c); \frac{4c^2a^2}{c+a}\leq ac(a+c)\)
Cộng các BĐT trên ta thu được BĐT $(*)$. Tức là $(*)$ luôn đúng, kéo theo BĐT ban đầu luôn đúng
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Hình như thừa số 2
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\sqrt[3]{\left(abc\right)^3}=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)