Question

[Thầy Đức Anh]

(3 điểm)

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, vẽ tia phân giác $B D$. Kẻ $D E$ vuông góc với $B C$
( ${E}$ thuộc ${BC}$ ). Gọi ${F}$ là giao điểm của ${BA}$ và ${ED}$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ${BED}$ bằng tam giác ${BAD}$

b) Tam $BCF$ cân tại $B.$

c) ${BD}$ là đường trung tuyến của tam giác ${BCF}$?

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBED

b: Ta có: ΔBAD=ΔBED

=>BA=BE

Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

BE=BA

\(\widehat{EBF}\) chung

Do đó: ΔBEF=ΔBAC

=>BF=BC

=>ΔBFC cân tại B

c: Ta có: ΔBFC cân tại B

mà BD là đường phân giác

nên BD là đường trung tuyến của ΔBCF

Answer 2

[Ngoc Diep Nguyen Thi]

 

GT	$\Delta ABC:A=90^{\circ }$ $BD$ là phân giác của góc $B$ $DE\perp BC(E\in AC)$ $BA\cap ED=\{F\}$ $BD\cap FC=\{K\}$
KL	a) $\Delta BAD=\Delta BED$. b) $\Delta BCF$ cân tại $B$. c) $BD$ là đường trung tuyesn của $\Delta BCF$.

 

a) Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BED$ lần lượt vuông tại $A$ và $E$.

    $BD$ chung.

    $\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ ($BD$ là tia phân giác).

Suy ra $\Delta BAD=\Delta BED$ (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Vì $\Delta BAD=\Delta BED(c/m$ phần a) nên $AD=ED;BA=BE$ (2)

Xét $\Delta AFD$ vuông tại $A$ và $\Delta ECD$ vuông tại $E$ có:

    $AD=ED(cmt)$

    $\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\Delta AFD=\Delta ECD$ (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Nên $AF=EC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AF+BA=BE+EC$

Hay $BF=BC$

Vậy $\Delta BCF$ cân tại $B$.

c) Giả sử $BD$ kéo dài cắt $FC$ tại $K$

Xét $\Delta BKF$ và $\Delta BKC$ có:

    $BK$ là cạnh chung

    $\widehat{KBF}=\widehat{KBC}$ (Vì $BD$ là phân giác của $\widehat{ABC}$ )

     $BF=BC$ ( chứng minh phần $b)$

Suy ra $\Delta BKF=\Delta BKC($ c.g.c $)$

Suy ra $KF=KC$ (hai cạnh tương ứng)

Vậy $BK$ hay $BD$ là đường trung tuyến của $\Delta BCF$.