Giả sử pt ax2+bx +c =0
Có 2 nghiệm x1,x2 dương và pt
cx2 + bx +a =0
Cũng có 2 nghiệm x3,x4 dương. Cm rằng x1+x3 lớn hơn hoặc bằng 2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo định lý Viéte kết hợp với giả thiết ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\)
Ta cần chứng minh: \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\frac{-b}{c}>0\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\) (*)
TH1: \(a>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c>0\\b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng
TH2: \(a< 0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c< 0\\b>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng
Ta có đpcm.
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}=4\sqrt[4]{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x_1=x_2=x_3=x_4\) \(\Leftrightarrow a=c\)
\(ax^2+bx+c=0\) (1) có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=b^2-4ac\ge0\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)
Xét \(cx^2+bx+a=0\) (2)
\(\Delta=b^2-4ac\ge0\Rightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\frac{b}{c}\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(-\frac{b}{a}\right):\left(\frac{c}{a}\right)>0\Rightarrow-\frac{b}{c}>0\)
\(\Rightarrow\) (2) cũng có 2 nghiệm dương
Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;c\) cùng dấu và trái dấu b
Ko mất tính tổng quát, giả sử \(a;c>0\) và \(b< 0\) ; đặt \(d=-b>0\)
\(\Rightarrow d^2\ge4ac\Rightarrow d\ge2\sqrt{ac}\)
\(A=x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}-\frac{b}{c}=\frac{d}{a}+\frac{d}{c}=d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(A\ge2d\sqrt{\frac{1}{ac}}\ge2.2\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1}{ac}}=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=c=\frac{1}{2}d\) hay \(a=c=-\frac{1}{2}b\)
phantuananh mk cũng bị cái câu hỏi làm cho @@ ùi
\(PT:ax^2+bx+c=0\) (1) có 2 nghiệm pb có dúng 1 nghiệm dương(x1) => ac<0 ; \(\sqrt{\Delta}=b^2-4ac>0\)
\(PT:ct^2+bt+a=0\) (2) có ac<0 => \(\sqrt{\Delta}=b^2-4ac>0\) (theo trên) => (2) cũng có 2 nghiệm pb ,trái dấu ( 1 dương = t1 )
ta có : x1>0 ; t1 >0 nên :
+ \(x_1.t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1\left(Neusa>0;c<0\right)\)
+ \(x_1.t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1\left(Neusa<0;c>0\right)\)
=> \(x_1+t_1\ge2\sqrt{x_1.t_1}=2\)
Bài 1.
a.\(\left(x-8\right)\left(x^3+8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-8=0\\x^3+8=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=-2\end{matrix}\right.\)
b.\(\left(4x-3\right)-\left(x+5\right)=3\left(10-x\right)\)
\(\Leftrightarrow4x-3-x-5=30-3x\)
\(\Leftrightarrow4x-x+3x=30+5+3\)
\(\Leftrightarrow6x=38\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{19}{3}\)
Bài 1:
a. $(x-8)(x^3+8)=0$
$\Rightarrow x-8=0$ hoặc $x^3+8=0$
$\Rightarrow x=8$ hoặc $x^3=-8=(-2)^3$
$\Rightarrow x=8$ hoặc $x=-2$
b.
$(4x-3)-(x+5)=3(10-x)$
$4x-3-x-5=30-3x$
$3x-8=30-3x$
$6x=38$
$x=\frac{19}{3}$