Question

[✿.｡.:* ☆:**:.Lê Thùy Linh.:**:.☆*.:...]

Mong các bạn giúp,tớ cần gấp!

Cho C nằm ngoài đường tròn tâm O.Kẻ tiếp tuyến CA,CB với đường tròn tâm O ( A,B là tiếp điểm).Cát tuyết CDE ( D nằm giữa C và E).Gọi I là trung điểm DE, H là giao điểm AB và OC.

a) C/m 5 điểm C,A,I,O,B cùng thuộc 1 đường tròn.

b) C/m AH^2 = OH.HC = AB^2/4 và CH.CO = CI^2 - DI^2

c) C/m đường tròn ngoại tiếp tam giác DEH luôn đi qua điểm cố định.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: ΔOED cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)ED

Ta có: \(\widehat{OIC}=\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>O,I,C,A,B cùng thuộc đường tròn đường kính OC

b: Xét (O) có

CA,CB là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CB

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của AB

=>OC\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=OH\cdot HC\)

=>\(OH\cdot HC=AH^2=\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2=\dfrac{1}{4}AB^2\)

Xét (O) có

\(\widehat{CAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây cung AD

\(\widehat{AED}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

Do đó: \(\widehat{CAD}=\widehat{AED}\)

=>\(\widehat{CAD}=\widehat{CEA}\)

Xét ΔCAD và ΔCEA có

\(\widehat{CAD}=\widehat{CEA}\)

\(\widehat{ACD}\) chung

Do đó: ΔCAD~ΔCEA

=>\(\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CD}{CA}\)

=>\(CD\cdot CE=CA^2\)

\(CI^2-DI^2=\left(CI-DI\right)\cdot\left(CI+DI\right)\)

\(=CD\cdot CE=CA^2\left(3\right)\)

Xét ΔOAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(CH\cdot CO=CA^2\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(CI^2-DI^2=CH\cdot CO\)

c: Ta có: CD*CE=CH*CO

=>\(\dfrac{CD}{CO}=\dfrac{CH}{CE}\)

Xét ΔCDH và ΔCOE có

\(\dfrac{CD}{CO}=\dfrac{CH}{CE}\)

\(\widehat{DCH}\) chung

Do đó: ΔCDH~ΔCOE

=>\(\widehat{CDH}=\widehat{COE}\)

mà \(\widehat{CDH}+\widehat{EDH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EDH}+\widehat{EOH}=180^0\)

=>EDHO là tứ giác nội tiếp

=>ĐƯờng tròn ngoại tiếp ΔDEH luôn đi qua O cố định