Cho nửa đường tròn \(\left(O\right)\) đường kính \(AB\). Từ \(A\) và \(B\) kẻ tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\). Qua điểm \(M\) thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) lần lượt tại \(E\) và \(F\).
\(a\). Chứng minh: \(A,E,M,O\) cùng thuộc một đường tròn.
\(b\). \(AM\) cắt \(OE\) tại \(P\), \(BM\) cắt \(OF\) tại \(Q\). Tứ giác \(MPOQ\) là hình gì? Tại sao?
\(c\). Kẻ \(MH\perp AB\left(H\in...
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn \(\left(O\right)\) đường kính \(AB\). Từ \(A\) và \(B\) kẻ tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\). Qua điểm \(M\) thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) lần lượt tại \(E\) và \(F\).
\(a\). Chứng minh: \(A,E,M,O\) cùng thuộc một đường tròn.
\(b\). \(AM\) cắt \(OE\) tại \(P\), \(BM\) cắt \(OF\) tại \(Q\). Tứ giác \(MPOQ\) là hình gì? Tại sao?
\(c\). Kẻ \(MH\perp AB\left(H\in AB\right)\). Gọi \(K\) là giao của \(MH\) và \(EB\). So sánh \(MK\) và \(KH\).
a. Em tự giải
b.
Ta có: \(EA=EM\) (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(OA=OM=R\)
\(\Rightarrow OE\) là trung trực của AM
\(\Rightarrow OE\perp AM\Rightarrow\widehat{OPM}=90^0\)
Chứng minh tương tự ta có \(OF\perp BM\Rightarrow\widehat{OQM}=90^0\)
AB là đường kính \(\Rightarrow\widehat{AMB}\) là góc nt chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác MPOQ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
c.
Kéo dài BM cắt Ax tại C
Do \(OE||BC\) (cùng vuông góc AM), mà O là trung điểm AB
\(\Rightarrow OE\) là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow E\) là trung điểm AC \(\Rightarrow AE=CE\)
Áp dụng định lý Talet trong tam giác BAE:
\(\dfrac{KH}{AE}=\dfrac{BK}{BE}\)
Áp dụng định lý Talet trong tam giác BEC:
\(\dfrac{MK}{CE}=\dfrac{BK}{BE}\)
\(\Rightarrow\dfrac{KH}{AE}=\dfrac{MK}{CE}\Rightarrow KH=MK\)