Question

[Trâm Bảo]

Cho đường tròn ( O;R ) đường kính AB, M là một điểm chuyển động trên đường tròn ( M khác A,B ). Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M) 

a) Chứng minh AC//BD
b) CMR: CD là tiếp tuyến của (O) tại M

c) CMR: AC + BD không đổi khi M di chuyển trên đường tròn (O) và tính tích AC.BD theo CD

d) Tìm vị trí của M trên (O) để HC = HD

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B H D C M O

a/

Ta có (M) tiếp xúc với AB tại H (gt) => AB là tiếp tuyến với (M)

Xét tg vuông ACM và tg vuông AHM có

AM chung

MC=MH (bán kính (M))

=> tg ACM = tg AHM (Hai tg vuông vó cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{AMH}\)

C/m tương tự khi xét 2 tg vuông BDM và BHM ta cũng có

\(\widehat{BMD}=\widehat{BMH}\)

Ta có 

\(\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}=\widehat{AMH}+\widehat{BMH}=\widehat{AMB}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{BMD}+\widehat{AMB}=90^o+90^o=180^o=\widehat{CMD}\)

=> C; M; D thẳng hàng

Ta có

\(AC\perp CD;BD\perp CD\) => AC//BD

b/ Ta có

AC//BD (cmt) => ACDB là hình thang

Mà

MC=MD (bán kính (M)

OA=OB=R

=> OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM//BD

Mà \(BD\perp CD\)

\(\Rightarrow OM\perp CD\) => CD là tiếp tuyến với (O)

c/

Ta có

AC=AH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)

BD=BH (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn)

\(\Rightarrow AC+BD=AH+BH=AB=2R\) không đổi

d/

Khi HC=HD => tg AHD cân tại H

Ta có MC=MD

\(\Rightarrow MH\perp CD\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Mà \(OM\perp CD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow H\equiv O\) 

Xét tg AMB có

\(MH\perp AB\Rightarrow MO\perp AB\)

Mà OA=OB

=> tg AMB cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

=> MA=MB => sđ cung MA = sđ cung MB (trong đường tròn 2 dây cung bằng nhau thì số đo 2 cung tương ứng bằng nhau)

=> M là điểm giưa cung AB