Cho nửa đường tròn (O;R),đường kính AB.H là trung điểm của OA.Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với OA,đường thẳng này cắt nửa đường tròn (O) tại C.Gọi E,F ll là hình chiếu vuông góc của H trên AC và BC. a)C/m CEHF là hcn. b)C/m EF là tiếp tuyến của nửa đtđk HB. c)Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn (O) tại M,N.C/m...
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn (O;R),đường kính AB.H là trung điểm của OA.Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với OA,đường thẳng này cắt nửa đường tròn (O) tại C.Gọi E,F ll là hình chiếu vuông góc của H trên AC và BC. a)C/m CEHF là hcn. b)C/m EF là tiếp tuyến của nửa đtđk HB. c)Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn (O) tại M,N.C/m CM=CN.
a: Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét tứ giác CEHF có
\(\widehat{CEH}=\widehat{CFH}=\widehat{FCE}=90^0\)
=>CEHF là hình chữ nhật
b: Gọi I là trung điểm của HB
CEHF là hình chữ nhật
=>\(\widehat{MFH}=\widehat{MCH}\)
=>\(\widehat{MFH}=\widehat{ACH}\)
mà \(\widehat{ACH}=\widehat{ABC}\left(=90^0-\widehat{CAH}\right)\)
nên \(\widehat{MFH}=\widehat{ABC}\)
Ta có: ΔFHB vuông tại F
mà FI là đường trung tuyến
nên FI=IH=IB
=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔFHB
FI=FH nên \(\widehat{FIH}=\widehat{FHI}\)
\(\widehat{MFI}=\widehat{MFH}+\widehat{HFI}\)
\(=\widehat{B}+\widehat{FHI}\)
\(=90^0\)
=>EF là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính BH
c: CEHF là hình chữ nhật
=>\(\widehat{CEF}=\widehat{CHF}\)
mà \(\widehat{CHF}=\widehat{CBA}\left(=90^0-\widehat{CAB}\right)\)
nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CBA}\)
Ta có: OA=OC
=>ΔOAC cân tại O
=>\(\widehat{OCA}=\widehat{OAC}\)
\(\widehat{OCA}+\widehat{CEF}=\widehat{OAC}+\widehat{CBA}=90^0\)
=>CO vuông góc với EF
=>CO vuông góc với MN
Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OC là đường cao
nên CO là đường trung trực của MN
=>C nằm trên trung trực của MN
=>CM=CN