chứng minh bddt : 1/a +1/b+1/c >= 1/√ab + 1/√bc +1√ca (a.b.c>0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
1
KB
19 tháng 12 2017
Cho a,b,c thuộc R và a.b.c=1.chứng minh \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\)
Giải:Ta có:\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{a.c}{abc+ac+c}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ca+c+1}\)
\(=\frac{ac+1+c}{ac+c+1}=1\)
Suy ra điều phải chứng minh
HL
1
14 tháng 11 2021
Ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2.\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)=-\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
Mà \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}>0\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}< 0\left(đpcm\right)\)
(Dấu"=" không xảy ra bạn nhé)
PD
0
VA
0
VA
1
24 tháng 8 2020
Ta chứng minh:\(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a+bc\ge a^2+bc+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)\(\Leftrightarrow a\ge a\left(a+2\sqrt{bc}\right)\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow b+c-2\sqrt{bc}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)
CMTT\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)
\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)Vậy ......
(Dấu = xảy ra (=) a=b=c=1/3
TL
0
LK
1
13 tháng 2 2019
Ta có : 1/ (1+a+ab) +1/(1+b+bc) +1/(1+c+ca) =abc/ (abc+a+ab)+1/(1+b+bc)+ abc/(abc+abc^2+ba^2c^2)
=abc/(a(bc+1+b) +1(1+b+bc)+ abc/( ac(b+bc+abc)
=bc/(1+b+bx)+ 1/(1+b+bc)+b/(1+b+bc) =bc+1+b/1+b+bc= 1
Vậy S=1
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}$
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{\sqrt{bc}}$
$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{\sqrt{ac}}$
Cộng các BĐT trên và thu gọn:
$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$