Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left(AB< AC\right)\). Đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\) cắt \(AB\), \(AC\) theo thứ tự tại \(E\) và \(D\).
\(a\)) Chứng minh rằng: \(AB\cdot AC=AE\cdot AB\)
\(b\)) Gọi \(H\) là giao điểm \(BD\) và \(CE\). Gọi \(K\) là giao điểm \(AH\) và \(BC\). Chứng minh: \(AH\) vuông góc với \(BC\)
\(c\)) Chứng minh: \(M,H,N\) thẳng hàng (\(M,N\) là hai tiếp điểm kẻ từ \(A\) đến đường tròn tâm \(O\))

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg ABD và tg ACE có

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DE)

=> tg ABD đồng dạng với tg ACE (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\Rightarrow AD.AC=AE.AB\)

b/

\(\widehat{BEC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CE\perp AB\)

\(\widehat{BDC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BD\perp AC\)

=> H là trực tâm của tg ABC \(\Rightarrow AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

Answer 2

[Lê Song Phương]

a) Tứ giác BCDE nội tiếp nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\). Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta ABD~\Delta ACE\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\) \(\Rightarrow AD.AC=AB.AE\) (đpcm)

b) Đường tròn (O) có đường kính BC nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

 \(\Rightarrow BD\perp AC,CE\perp AB\) \(\Rightarrow\) H là trực tâm tam giác ABC

 \(\Rightarrow AH\perp BC\) (đpcm)

c) Hạ \(HS\perp AO\) tại S. \(\Rightarrow S\in\left(AH\right)\). Khi đó tứ giác OKHS nội tiếp nên \(AS.AO=AH.AK=AD.AC=AN^2\) .

 Từ đây dễ dàng chứng minh \(\Delta ASN~\Delta ANO\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{ASN}=\widehat{ANO}\). Ta có \(\widehat{ANO}=90^o\Rightarrow\widehat{ASN}=90^o\) hay \(SN\perp AO\) tại S

 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \(SM\perp AO\) tại S

 Lại có \(HS\perp AO\) tại S nên H, M, N thẳng hàng (đpcm).