Question

[Kei Karuizawa]

Cho tam giác NMQ vuông tại N. Biết NQ=3cm, MQ=5cm. 1) giải tam giác vuông NMQ 2)Từ Q kẻ đường thảng vuông có với MQ, đường thẳng này cắt đường thẳng này cắt đường thẳng MN tại D. Tính độ dài các đoạn thẳng ND,QD. 3) Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của N trên MQ và QD a) Chứng minh: QF.QD=QE.MQ b) Tính: ME.EQ+DF.FQ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: ΔNMQ vuông tại N

=>\(NM^2+NQ^2=QM^2\)

=>\(NM^2=5^2-3^2=16\)

=>NM=4(cm)

Xét ΔNMQ vuông tại N có

\(sinM=\dfrac{NQ}{MQ}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\widehat{NMQ}\simeq37^0\)

ΔNMQ vuông tại N

=>\(\widehat{NMQ}+\widehat{NQM}=90^0\)

=>\(\widehat{NQM}=90^0-37^0=53^0\)

Xét ΔQMD vuông tại Q có QN là đường cao

nên \(QN^2=NM\cdot ND\)

=>\(ND\cdot4=3^2=9\)

=>ND=2,25(cm)

MQ=MN+ND

=4+2,25

=6,25(cm)

ΔMQD vuông tại Q

=>\(MQ^2+QD^2=MD^2\)

=>\(QD^2=6,25^2-5^2=14,0625\)

=>QD=3,75(cm)

3: ΔQMN vuông tại N có NE là đường cao

nên \(QE\cdot QM=QN^2\left(1\right)\)

Xét ΔQND vuông tại N có NF là đường cao

nên \(QF\cdot QD=QN^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(QE\cdot QM=QF\cdot QD\)

b:

Xét ΔNQD vuông tại N có NF là đường cao

nên \(NF\cdot QD=NQ\cdot ND;DF\cdot FQ=NF^2\)

=>\(NF=\dfrac{3\cdot2.25}{3.75}=1,8\left(cm\right)\)

Xét ΔMNQ vuông tại N có NE là đường cao

nên \(NE^2=EM\cdot EQ;NE\cdot MQ=NQ\cdot NM\)

=>\(NE\cdot5=3\cdot4=12\)

=>NE=2,4(cm)

 \(ME\cdot EQ+DF\cdot FQ\)

\(=NE^2+NF^2\)

\(=2,4^2+1,8^2=9\)